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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Di 09.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Rechnen Sie mit den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen nach, dass die Funktion
f(z) = ln |z| [mm] +j\phi [/mm] mit [mm] \phi [/mm] = arg z [mm] \in (-\pi,\pi) [/mm] holomorph ist. |
Hallo Zusammen,
ich habe bis jetzt:
Re f(z)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm]
Im f(z) = [mm] \phi [/mm] = arg(z) = [mm] arccos\bruch{x}{r}, [/mm] für (y>0), [mm] -arccos\bruch{x}{r}, [/mm] für (y<0)
Wenn ich jetzt die Cauchy-Riemann-Formel
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}= \bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
dann kommt bei mir nicht das gleiche raus. Aber es müsste das gleiche rauskommen und damit holomorph sein.
Oder muss man erst in Polar umrechnen?
Kann mir da jemand vielleicht sagen, was ich da falsch gemacht habe?
Vielen Dank im Voraus!!
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Rechnen Sie mit den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
> nach, dass die Funktion
>
> f(z) = ln |z| [mm]+j\phi[/mm] mit [mm]\phi[/mm] = arg z [mm]\in (-\pi,\pi)[/mm]
> holomorph ist.
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe bis jetzt:
>
> Re f(z)= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm]
>
> Im f(z) = [mm]\phi[/mm] = arg(z) = [mm]arccos\bruch{x}{r},[/mm] für (y>0),
> [mm]-arccos\bruch{x}{r},[/mm] für (y<0)
>
> Wenn ich jetzt die Cauchy-Riemann-Formel
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}= \bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> dann kommt bei mir nicht das gleiche raus. Aber es müsste
> das gleiche rauskommen und damit holomorph sein.
>
> Oder muss man erst in Polar umrechnen?
>
> Kann mir da jemand vielleicht sagen, was ich da falsch
> gemacht habe?
Du bist ja witzig ! Du lieferst keinerlei Rechnungen und wir sollen in diesen Rechnungen Fehler finden ? Wie geht das ?
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus!!
>
>
>
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 09.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
also:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x} (\bruch{1}{2}ln (x^2+y^2)) [/mm] = [mm] \bruch{x}{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] (arccos [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}) [/mm] = [mm] \bruch{xy}{|y|*(x^2+y^2)} [/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y} (\bruch{1}{2}ln (x^2+y^2)) [/mm] = [mm] \bruch{y}{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] -\bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] (arccos [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}})=\bruch{|y|}{x^2+y^2}
[/mm]
damit:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}\not=\bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}\not=-\bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
Das muss aber stimmen, deshalb habe ich irgendwas falsch gemacht.
Kann mir da jemand Tipps sagen??
Vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> also:
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x} (\bruch{1}{2}ln (x^2+y^2))[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm] (arccos
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}})[/mm] = [mm]\bruch{xy}{|y|*(x^2+y^2)}[/mm]
Aha. Du betrachtest hier also den Fall y>0. Dann ist y=|y|. Dann passt es doch
FRED
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y} (\bruch{1}{2}ln (x^2+y^2))[/mm] =
> [mm]\bruch{y}{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm] (arccos
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}})=\bruch{|y|}{x^2+y^2}[/mm]
>
> damit:
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}\not=\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}\not=-\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> Das muss aber stimmen, deshalb habe ich irgendwas falsch
> gemacht.
>
> Kann mir da jemand Tipps sagen??
>
> Vg
>
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:32 Di 09.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
vielen dank für deine schnelle Hilfe.
also bei der zweiten Bedingung habe ich das Minus vergessen. Damit müsste es ja dann auch passen oder?
Beim Fall: y<0, ist das denn dann auch richtig?
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x} (\bruch{1}{2}ln (x^2+y^2))=\bruch{x}{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v}{\partial y}(-arccos\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}})= -\bruch{xy}{|y|\cdot{}(x^2+y^2)} [/mm] (und wir betrachten y<0 damit wird das Minus vor dem Bruch zu Plus)
damit: [mm] \bruch{xy}{|y|\cdot{}(x^2+y^2)}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y} (\bruch{1}{2}ln (x^2+y^2))=\bruch{y}{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] -\bruch{\partial v}{\partial x}(-arccos\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}})= -\bruch{|y|}{(x^2+y^2)}
[/mm]
ist das denn auch so richtig??
vg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 09.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
hab noch was vergessen: Cauchy Riemann Bedingung:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] und
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=- \bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
damit:
[mm] \bruch{x}{x^2+y^2}=\bruch{xy}{|y|\cdot{}(x^2+y^2)} [/mm] und
[mm] \bruch{y}{x^2+y^2}=-\bruch{|y|}{(x^2+y^2)}
[/mm]
das müsste doch so stimmen oder?
vg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> hab noch was vergessen: Cauchy Riemann Bedingung:
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]
> und
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=- \bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> damit:
>
> [mm]\bruch{x}{x^2+y^2}=\bruch{xy}{|y|\cdot{}(x^2+y^2)}[/mm] und
>
> [mm]\bruch{y}{x^2+y^2}=-\bruch{|y|}{(x^2+y^2)}[/mm]
>
> das müsste doch so stimmen oder?
Solange es von Dir keine präziesen Fallunterscheidungen gibt, gibt es von mir keine Antwort.
FRED
>
> vg
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 09:52 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
ich habe doch geschrieben, dass der 1. Fall y > 0 war. Da hast du mir ja bestätigt dass es stimmt.
Dann habe ich den Fall y < 0 beschrieben. Ich weiss nicht was du noch von mir willst?
Vg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 12.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 11.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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