Übung: Analysis < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 21:45 Mi 15.02.2006 | | Autor: | informix |
| Aufgabe |
Gegeben sei die Funktion f durch $f(x) = [mm] \bruch{x^4 - 17 x^2 + 16}{3 x^2} [/mm] $
1. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, das Symmetrieverhalten, Nullstellen (mit Steigung in den Nullstellen) und Extrempunkte sowie die Näherungsfunktion a(x) für betragsmäßig große x.
Zeichnen Sie die Graphen von f und a in dasselbe Koordinatensystem über dem Intervall [-5;5].
Die 2. Ableitung der Funktion lautet: $f''(x) = [mm] \bruch{2(x^4 + 48)}{3 x^4}$ [/mm]
2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse umschlossen wird.
3. Die Graphen von f und a umschließen zwischen der rechten Minimalstelle [mm] x_1 [/mm] von f und der größten Nullstelle [mm] x_0 [/mm] von f eine Fläche [mm] $A_{1,0}$.
[/mm]
Berechnen Sie diese Fläche.
Bestimmen Sie den prozentualen Anteil dieser Fläche an der ins Unendliche reichenden Fläche zwischen den beiden Graphen über dem Intervall [mm] [x_1;8[.
[/mm]
4. Betrachten Sie einen Punkt P(u;v) auf dem Graphen von f mit 1< u <4.
Die Parallele zur x-Achse durch P, die y-Achse und die Verbindungsstrecke von P zum tiefsten Punkt der Näherungsfunktion a(x) bilden ein Dreieck.
Weisen Sie nach, dass es unter diesen Dreiecken eines gibt, das den kleinsten Flächeninhalt besitzt.
|
Hallo,
Dies ist eine "echte" Abituraufgabe zum Üben. Bearbeitungszeit: ca. 90 min.
Daher hoffe ich auf eine rege Diskussion unter angehenden Abiturienten (und nicht älteren Semestern) über mögliche Lösungen.
Die älteren Semester bitte ich, nur dann korrigierend einzugreifen, wenn sich eine Diskussion festläuft.
Gruß informix
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 04.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Gutentag,
könnte mir jemand die Näherungsfunktion angeben oder mir erklären wie man so etwas bestimmt? So etwas haben wir im Unterricht nicht gelernt und wenn ich die Funktion nicht hab kann ich fast alle Teilaufgaben nicht rechnen... :(
mfg blacky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Di 04.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacky!
Führe hier eine  Polynomdivision durch mit [mm] $\left(x^4 - 17*x^2 + 16\right) [/mm] \ : \ [mm] \left(3x^2\right)$ [/mm] .
Oder alternativ zerlege den Bruch in Einzelbrüche und kürze weitestgehend.
Dabei entsteht dann ein ganz-rationaler Anteil sowie ein (gebrochen-rationaler) Restterm, bei dem der Zählergrad echt kleiner ist als der Nennergrad.
Die Näherungsfunktion $a(x)_$ entspricht dann genau dem ganz-rationalen Teil. Schließlich wird der gebrochen-rationale Restterm für sehr große $x_$ nahezu Null.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Di 04.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Ok Loddar, vielen Dank, das verstehe ich gut.
Die Näherungsfunktion lautet demnach:
[mm] a(x)=\bruch{1}{3}*x^2-\bruch{17}{3}
[/mm]
So wird die Aufgabe Spaß machen ;D
Leider malen wir in der Schule selten Graphen... Irgendwie ist das alles lebendiger wenn man sich die zeichnen lässt und man vertut sich nicht so schnell :]
mfg blacky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:51 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacky!
Zumindest zuhause kannst Du doch z.B. FunkyPlot verwenden. Dieses Programm kannst Du Dir ![[]](/images/popup.gif) hier kostenfrei runterladen.
Viel Spaß damit!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Hallo, hier präsentiere ich meine Lösungen q:D
1.1
Definitionsmenge:
[mm]D_f=\IR \setminus{0}[/mm] , da der Nenner nicht 0 werden darf.
Symmetrieverhalten:
da [mm]f(-x)=f(x)[/mm], ist f achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nullstellen:
[mm]
x=-4 ; -1 ; 1 ; 4
[/mm]
Steigung an den Nullstellen:
[mm] f'(-4)=-\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] f'(4)=\bruch{5}{2}
[/mm]
f'(-1)=10
f'(1)=-10
Extrempunkte:
T=(2|-3) und T=(-2|-3) sind die lokalen Extrempunkte des Graphen von f.
Näherungsfunktion:
[mm] a(x)=\bruch{1}{3}x^2-\bruch{17}{3}
[/mm]
1.2
[mm]A=2*| \integral_{1}^{4}{f(x) dx} |=12[/mm]
1.3
[mm] A_{1,0}=|\integral_{2}^{4}{f(x)-a(x) dx} |=\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] A_{1,\infty}=|\integral_{2}^{\infty}{f(x)-a(x) dx} |=\bruch{8}{3}
[/mm]
Demnach ist der Anteil der begrenzten Fläche an der ins Unendliche reichenden 50%.
1.4.
[mm] A:]1;4[\to\IR, u\mapsto\bruch{1}{2}*(\bruch{17}{3}+f(u))*u
[/mm]
[mm] A(u)=\bruch{1}{6}u^3+\bruch{16}{6u}
[/mm]
Für [mm] u=\bruch{2}{3^{\bruch{1}{4}}} \approx1,52 [/mm] wird das Flächenmaß des Dreiecks minimal und beträgt ca. 2,34 FE.
mfg blacky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Di 11.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Blacky,
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Meine Ergebnisse stimmen mit deinen vollständig überein.
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Di 11.04.2006 | | Autor: | Blacky |
Vielen lieben Dank Sigrid.
mfg blacky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mi 12.04.2006 | | Autor: | DerVogel |
4 2
x - 17·x + 16
f(x) :=
2
3·x
Def.: R \ {0}
f(x) = f(-x)
also achsenymmetrisch
f(x) = 0
x = -4 x = 4 x = -1 x = 1
f'(-4) = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
f'(4) [mm] =\bruch{5}{2} [/mm]
f'(-1) = 10
f'(1) = -10
Extrempunkte:
f'(x) = 0
x = -2 x = 2
f''(2) = [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
f''(-2) = [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
2
x 16 17
+ -
3 2 3
3·x
a(x) = [mm] \bruch{x^{2}}{3} [/mm] - [mm] \bruch{17}{3}
[/mm]
Fläche zw. f und x-Achse:
[mm] \integral_{-4}^{-1}{f(x) dx} [/mm] = -6
[mm] \integral_{1}^{4}{f(x) dx} [/mm] = -6
Die Fläche beträgt 12 FE.
Fläche zw. a und f im Intervall [2,4]:
[mm] \integral_{2}^{4}{a(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{2}^{4}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Die Fläche beträgt 4/3 FE.
[mm] \integral_{2}^{8}{a(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{2}^{8}{f(x) dx} [/mm] = -2
Prozentualer Anteil: 4/3 sind von 6/3 : 66%
Dreieck:
g(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * x * - [mm] \bruch{17}{3} [/mm] - - f(x)
a'(x) = 0
x = 0
a(0) [mm] =\bruch{17}{3}
[/mm]
g(1) = [mm] \bruch{17}{6}
[/mm]
g(4) = [mm] \bruch{34}{3}
[/mm]
g'(x) = 0
x = -3.433053050 x = 3.433053050
g(3.43305305) = -11.93362827
Das kleinste Dreieck ist mit P=(1|0), weil es kleiner ist als das mit (4|0) und dazwischen ein Hochpunkt liegt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Do 13.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> 4 2
> x - 17·x + 16
> f(x) :=
> 2
> 3·x
>
> Def.: R \ {0}
>
> f(x) = f(-x)
> also achsenymmetrisch
>
> f(x) = 0
>
> x = -4 x = 4 x = -1 x = 1
>
>
> f'(-4) = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
Du meinst vermutlich
[mm] f'(-4) = -\ \bruch{5}{2}[/mm]
>
> f'(4) [mm]=\bruch{5}{2}[/mm]
>
>
> f'(-1) = 10
>
> f'(1) = -10
>
> Extrempunkte:
>
> f'(x) = 0
>
> x = -2 x = 2
>
>
> f''(2) = [mm]\bruch{8}{3}[/mm]
>
>
>
> f''(-2) = [mm]\bruch{8}{3}[/mm]
>
>
> 2
> x 16 17
> + -
> 3 2 3
> 3·x
>
> a(x) = [mm]\bruch{x^{2}}{3}[/mm] - [mm]\bruch{17}{3}[/mm]
>
> Fläche zw. f und x-Achse:
> [mm]\integral_{-4}^{-1}{f(x) dx}[/mm] = -6
>
>
> [mm]\integral_{1}^{4}{f(x) dx}[/mm] = -6
Wegen der Symmetrie genügt die Berechnung eines Integrals.
>
> Die Fläche beträgt 12 FE.
>
> Fläche zw. a und f im Intervall [2,4]:
>
> [mm]\integral_{2}^{4}{a(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{2}^{4}{f(x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
>
> Die Fläche beträgt 4/3 FE.
>
> [mm]\integral_{2}^{8}{a(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{2}^{8}{f(x) dx}[/mm]
> = -2
Hier ist vermutlich das Intervall [mm] [2\ ; \infty [ [/mm] gemeint.
>
> Prozentualer Anteil: 4/3 sind von 6/3 : 66%
>
> Dreieck:
>
> g(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * x * - [mm]\bruch{17}{3}[/mm] - - f(x)
Hier hast du die falsche Höhe. Du musst von [mm] \bruch{17}{3} [/mm] den Betrag von f(x) subtrahieren. Die Höhe ist also:
[mm] \bruch{17}{3} + f(x)[/mm]
und damit die Zielfunktion
[mm] g(x) = \bruch{1}{2}\ x\ ( \bruch{17}{3} + f(x))[/mm]
>
> a'(x) = 0
?
>
> x = 0
>
> a(0) [mm]=\bruch{17}{3}[/mm]
>
> g(1) = [mm]\bruch{17}{6}[/mm]
>
> g(4) = [mm]\bruch{34}{3}[/mm]
>
> g'(x) = 0
>
> x = -3.433053050 x = 3.433053050
>
> g(3.43305305) = -11.93362827
negativer Flächeninhalt?
Alles klar?
Gruß
Sigrid
>
> Das kleinste Dreieck ist mit P=(1|0), weil es kleiner ist
> als das mit (4|0) und dazwischen ein Hochpunkt liegt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Do 13.04.2006 | | Autor: | DerVogel |
Vielen Dank für die Hinweise.
Der Flächeninhalt ist natürlich positiv. Das Integral jedoch negativ.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe eine Frage zur Bearbeitung der Aufgabe.
Habt ihr die Nullstellen alle mit nem Plot oder Taschenrechner ermittelt oder ausgerecht? Und wie kann man das rechnerisch machen bei einer Funktion 4ten Gerades? Normalerweise würde ich ja die pq-Formel anwenden aber das geht ja nur bei einer Funktion 2ten Gerades.
Grüße
Razortazor
|
|
|
| |
|
hallo,
in bezug auf eine Funktion 4ten Grades gibt es da drei möglichkeiten,
1. [mm] x^4+x^2+2 [/mm] sollte deine Funktion nur gerade exponenten haben kannst du in solch einem Fall substituieren, das heißt, du machst aus deiner Funktion [mm] x^2+x+2, [/mm] wichtig ist, das du am schluss nach der pq-formel aus allen ergebnissen nochmal die wurzel ziehst,
2. du nutzt das Horner-Schema, für die Anwendung des Horner Schema musst du aber eine Nullstelle durch einsetzen finden
3. wenn du keine findest und die Nullstelle wohlmöglich ungerade ist benutz das Newton-Verfahren oder regula falsi, beides Näherungsverfahren
Antwort 2 und 3 sind in jeder Formelsammlung erklärt
hoffe ich konnte dir weiterhelfen
mfg Krisu112
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Genuin |
Ich habe das anhand der Polynomdivision gerechnet (ist das das Horner Schema?)
Dafür musst du aber erstmal eine (in diesem Fall 2 Nullstellen raten)
Dabei teilst du die Gleichung durch eine Nullstelle von der du glaubst, dass sie eine ist
Hier hab ich zum beispiel überprüft ob 1 eine Nullstelle ist:
( [mm] x^{4}-17 x^{2}+16):(x-1)=x^{3}+x^{2}-16x-16
[/mm]
[mm] -(x^{4}-x^{3})
[/mm]
[mm] x^{3}-17x^{2}
[/mm]
[mm] -(x^{3}-x^{2})
[/mm]
[mm] 16x^{2}+16
[/mm]
[mm] -(16x^{2}+16x)
[/mm]
-16x+16
-(-16x+16)
0
Damit hast du [mm] N_{1}(1/0)
[/mm]
und eine neue Gleichung [mm] (x^{3}+x^{2}-16x-16)
[/mm]
Nun überprüfe ich ob -1 eine Nullstelle ist
[mm] (x^{3}+x^{2}-16x-16):(x+1)=x^{2}-16
[/mm]
[mm] -(x^{3}+x^{2})
[/mm]
-16x-16
-(-16x-16)
0
Damit hast du [mm] N_{2}(-1/0)
[/mm]
Und die Gleichung [mm] x^{2}-16
[/mm]
die eben umgestellt ist: [mm] x_{3/4}= \pm [/mm] 4
[mm] N_{3}(4/0)
[/mm]
[mm] N_{4}(-4/0)
[/mm]
Es ist zwar recht umständlich, aber eigentlich brauch man noch nicht mal ein Taschenrechner dafür
Mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Do 20.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
Polynomdivision ist eine weitere Möglichkeit, wobei man vorher aber auch eine Nullstelle haben muss!!
Hier ist Horner ganz gut erklärt und vor allem einfacher!!!!
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/horner.htm
mfg Krisu112
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 08.06.2007 | | Autor: | tienche |
hallo,
ich stehe grade richtig auf em schlauch.
ich bekomme die nullstellen einfach nicht raus.
kann mir jmd mal bitte einen tipp geben?
danke schön
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Duffel |
Servus
D = [mm] \IR [/mm] \ 0
Achsensymmetrisch, f(x) = f(-x)
N1(-4/0), N2(-1/0), N3(1(0), N4(4/0)
Ableitung f'(x)
Zähler = u, Nenner = v
[mm] \bruch{(u'*v)-(u*v')}{v^{2}}
[/mm]
So,
[mm] \bruch{(4x^{3}-34x)*3x^{2}-(x^{4}-17x^{2}+16)*6x}{3x^{4}}
[/mm]
Zusammengefasst = [mm] \bruch{12x^{5}-102x^{3}-6x^{5}-102x^{3}+96x}{3x^{4}}
[/mm]
Gekürzt = [mm] \bruch{12x^{4}-102x^{2}-6x^{4}-102x^{2}+96}{3x^{3}}
[/mm]
Zusammengerechnet= [mm] \bruch{6x^{4}-204x^{2}+96}{3x^{3}}
[/mm]
Irgendwas stimmt an der Ableitung nicht? :-( Geht nicht so ganz auf!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Duffel |
Danke, ich würde gerne weiterrechnen, aber was ist am Nenner denn falsch? Mhh...
|
|
|
| |
|
Hallo Duffel,
> Danke, ich würde gerne weiterrechnen, aber was ist am
> Nenner denn falsch? Mhh...
Der Nenner ist "unterwegs" falsch, und dann hast du im Zähler nicht richtig gerechnet; darum kommst du nicht weiter.
Rechne doch einfach mit diesen Brüchen $ [mm] \bruch{((4x^{3}-34x)\cdot{}x-(x^{4}-17x^{2}+16)\cdot{}2)\cdot{}3x}{\red{9}x^{4}}=\bruch{(4x^{3}-34x)\cdot{}x-(x^{4}-17x^{2}+16)\cdot{}2}{\red{3}x^{3}} [/mm] $ weiter...
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe versucht die Extremstellen folgendermaßen zu berechnen:
[mm]0=2x^4-32 [/mm]
[mm]x^4=16 [/mm]
[mm]x^2=4[/mm] und [mm]x^2=-4 [/mm]
daraus wollte ich dann nocheinmal die Wurzel ziehen. Da ich aber aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann, bleibt ja theoretisch nur noch [mm] x=2[/mm]
Aber die Lösung ist ja [mm]x=2[/mm] und [mm]x=-2[/mm].
Wie kann ich denn sonst die vierte Wurzel ziehen?
Gruß, BeauShiva
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich habe versucht die Extremstellen folgendermaßen zu
> berechnen:
>
> [mm]0=2x^4-32[/mm]
> [mm]x^4=16[/mm]
> [mm]x^2=4[/mm] und [mm]x^2=-4[/mm]
>
> daraus wollte ich dann nocheinmal die Wurzel ziehen. Da ich
> aber aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann,
> bleibt ja theoretisch nur noch [mm]x=2[/mm]
der erste teil stimmt. aber wenn man eine gerade wurzel zieht:
[mm] x^2=4 \gdw x=\pm2
[/mm]
wobei man eher bei [mm] x^4=16 [/mm] direkt die 4. wurzel zieht:
[mm] x=\pm\sqrt[4]{16}=\pm2
[/mm]
>
> Aber die Lösung ist ja [mm]x=2[/mm] und [mm]x=-2[/mm].
> Wie kann ich denn sonst die vierte Wurzel ziehen?
>
> Gruß, BeauShiva
>
gruß tee
|
|
|
| |
|
Aber wie zieht man direkt die 4. Wurzel?
Kann ich dann einfach 2 mal die "normale" Wurzel ziehen, nur dass ich dann eben die Vorzeichen nicht beachte?
Gruß, BeauShiva
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo BeauShiva!
Ja, anstelle der 4. Wurzel kannst Du auch zweimal die Quadratwurzel ziehen.
Ansonsten gilt:
[mm] $$\wurzel[4]{x} [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{1}{4}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mi 03.03.2010 | | Autor: | BeauShiva |
Ok, super.
Vielen Dank 
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
weil der Nenner falsch ist!
