Übungsaufgaben für Prüfung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Sam90 |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie, dass jede offene Menge [mm] G\subset\IR^n [/mm] die disjunkte Vereinigung von abzählbar vielen (i.a. nicht offenen) Intervallen ist. |
| Aufgabe 2 | Seien [mm] A_{1},...,A_{n} [/mm] Teilmengen einer Menge X. Zeigen Sie:
(a) Falls die Mengen [mm] A_{j} [/mm] disjunkt sind und [mm] \bigcup_{j=1}^{n} A_{j}=X, [/mm] so gilt [mm] |\sigma(A_{1},...,A_{n})|=2^n.
[/mm]
(b) Das Mengensystem [mm] \sigma(A_{1},...,A_{n}) [/mm] besteht aus endlich vielen Mengen. |
| Aufgabe 3 | | Sei [mm] T:(\Omega,F)\to(\Omega',F') [/mm] messbar. Wann ist T(F) eine [mm] \sigma-Algebra? [/mm] |
Hallo :)
Zur Vorbereitung auf die anstehende Analysis-Prüfung haben wir 30 Übungsaufgaben bekommen und mit den 3 Aufgaben hier komme ich gar nicht klar... Kann mir vielleicht jemand helfen?
LG Sam
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Salamence |
Okay, bei Aufgabe 1 kann irgendetwas nicht stimmen. Intervalle in [mm] \IR^{n}?
[/mm]
Bei der zweiten a) kannst du dir das vorstellen wie n Kästchen auf dem Collegeblock. Wie willst du da durch Komplemente und Vereinigung was kriegen, was nicht nur aus Kästchen besteht? Und wieviele Mengen aus Kästchen gibt es?
Bei 3) weiß ich nicht wirklich, was da erwartet wird. Ist z. B. F trivial, so ist natürlich auch [mm] T(F)=\{\emptyset, T(\Omega) \} [/mm] eine triviale [mm] \sigma-Algebra. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Fr 16.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bei 3) weiß ich nicht wirklich, was da erwartet wird. Ist
> z. B. F trivial, so ist natürlich auch [mm]T(F)=\{\emptyset, T(\Omega) \}[/mm]
> eine triviale [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
Nicht unbedingt. Es ist nur dann eine [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] wenn [mm] $T(\Omega) [/mm] = [mm] \Omega'$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Salamence |
> Moin!
>
> > Bei 3) weiß ich nicht wirklich, was da erwartet wird. Ist
> > z. B. F trivial, so ist natürlich auch [mm]T(F)=\{\emptyset, T(\Omega) \}[/mm]
> > eine triviale [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
>
> Nicht unbedingt. Es ist nur dann eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra, wenn
> [mm]T(\Omega) = \Omega'[/mm] ist.
>
Wer sagt denn, dass das eine auf der selben Grundmenge sein muss? Also auf dem Bild ist es jedenfalls eine. xD
> LG Felix
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Ja da muss ich Salamence beipflichten....
Bei 1) muss die Fragestellung wohl eher so lauten:
Zeige , dass jede offene Menge G in [mm] \IR [/mm] als Vereinigung höchstens abzählbar vieler , paarweise disjunkter (offener) Intervalle dargestellt werden kann.
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja da muss ich Salamence beipflichten....
>
> Bei 1) muss die Fragestellung wohl eher so lauten:
>
> Zeige , dass jede offene Menge G in [mm]\IR[/mm] als Vereinigung
> höchstens abzählbar vieler , paarweise disjunkter
> (offener) Intervalle dargestellt werden kann.
ihr habt beide Unrecht:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_%28Mathematik%29#n-dimensionale_Intervalle
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Ja tut mir Leid ich habe zu rasch geantwortet. Es gibt natürlich auch Intervalle im [mm] \IR^{n} [/mm] - die obige Mitteilung ist somit Unfug. Ich bitte diese nicht zu beachten.
Danke an Marcel für die Richtigstellung.
Gruß Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
(Warnung: Diese Lösung ist nicht ganz korrekt - denn erst durch Felix
Hinweis wurde ich darauf aufmerksam gemacht, dass die Intervalle ja auch
disjunkt sein sollen. Ich hatte die Disjunktheitsforderung schlichtweg
einfach nicht wahrgenommen bzw. überlesen!)
> Zeigen Sie, dass jede offene Menge [mm]G\subset\IR^n[/mm] die
> disjunkte Vereinigung von abzählbar vielen (i.a. nicht offenen)
> Intervallen ist.
ich sehe jetzt keinen Grund, warum man die Intervalle nicht alle als offen
annehmen kann.
Der Beweis ist einfach: $G [mm] \cap \IQ^n$ [/mm] ist dicht in [mm] $G\,.$ [/mm] Für jedes $q [mm] \in [/mm] G [mm] \cap \IQ^n$ [/mm] existiert
ein (offener) [mm] $\epsilon=\epsilon_q$-Ball ($\epsilon_q [/mm] > 0$) (bzgl. [mm] $\IR^n$) [/mm] um $q$ so, dass dieser komplette Teilmenge
von [mm] $G\,$ [/mm] ist.
Jetzt beweise am Besten mal separat:
Ist $m [mm] \in \IQ^n$ [/mm] der Mittelpunkt des offenen [mm] $\epsilon$-Balles $B_\epsilon(m):=\{x \in \IR^n:\;\;\|m-x\|< \epsilon\},$ [/mm]
so gibt es ein offenes Intervall [mm] $I=I_m \subseteq \IR^n$ [/mm] mit
[mm] $\blue{m \in I_m \subseteq B_\epsilon(m)$ (insbesondere ist $I_m \not=\varnothing}$.)
[/mm]
Wenn Dir das gelungen ist, so kannst Du oben folgern:
Weil für jedes $q [mm] \in [/mm] G [mm] \cap \IQ^n$ [/mm] ein (offener) [mm] $\epsilon=\epsilon_q$-Ball ($\epsilon_q [/mm] > 0$) (bzgl. [mm] $\IR^n$) [/mm] um $q$
so existiert, dass dieser komplette Teilmenge von [mm] $G\,$ [/mm] ist, gibt es auch
für jedes $q [mm] \in [/mm] G [mm] \cap \IQ^n$ [/mm] ein offenes Intervall [mm] $I_q \subseteq \IR^n$ [/mm] mit $q [mm] \in I_q \subseteq [/mm] G.$
Damit folgere nun
[mm] $G=\bigcup_{q \in G \cap \IQ^n}I_q.$
[/mm]
Dabei ist [mm] "$\supseteq$" [/mm] klar; um [mm] "$\subseteq$" [/mm] einzusehen, brauchst Du sicher die
Dichtheit von $G [mm] \cap \IQ^n$ [/mm] in [mm] $G\,.$
[/mm]
(Und natürlich solltest Du wissen oder Dir klarmachen, dass [mm] $\IQ^n$ [/mm] und damit
auch jede Teilmenge von [mm] $\IQ^n$ [/mm] abzählbar ist.)
Hinweis zu [mm] "$\subseteq$": [/mm] Es ist nur etwas zu beweisen, wenn $r [mm] \in [/mm] G [mm] \setminus [/mm] (G [mm] \cap \IQ^n).$
[/mm]
Wegen der Offenheit von [mm] $G\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\IR^n$ [/mm] gibt es ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $B_\epsilon(r) \subseteq [/mm] G.$
Wähle nun ein $q [mm] \in \IQ^n \cap B_{\epsilon}(r)$ [/mm] - das ist möglich, weil $G [mm] \cap \IQ^n$ [/mm] dicht in [mm] $G\,$ [/mm] ist.
( Ist das bekannt? Das kann man auch relativ "elementar" beweisen mit dem
Wissen, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] ist... soweit ich mich erinnere, sollte der "Beweistrick"
eigentlich so ablaufen wie der Beweis des blauen Satzes oben... aber das
sage ich mal "unter Vorbehalt".  )
Definiere für dieses [mm] $q\,$ [/mm] ein [mm] $\epsilon\,'_q [/mm] > 0$ so, dass [mm] $B_{\epsilon\,'_q}(q)$ [/mm] komplette Teilmenge von [mm] $B_{\epsilon}(r)$ [/mm]
ist.
Der Rest folgt dann wegen des blauen Satzes!
P.S. Am "Witigstens" ist eigentlich, dass man sogar die Eckpunkte der
Intervalle als [mm] $\IQ^n$-Punkte [/mm] schreiben kann.
P.P.S. Vielleicht kann man, wenn man es geschickt einfädelt, hier auch mit
dem Satz arbeiten, dass '"äquivalente Normen" die gleiche Topologie erzeugen'.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Fr 16.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Zeigen Sie, dass jede offene Menge [mm]G\subset\IR^n[/mm] die
> > disjunkte Vereinigung von abzählbar vielen (i.a. nicht
> offenen)
> > Intervallen ist.
>
> ich sehe jetzt keinen Grund, warum man die Intervalle nicht
> alle als offen annehmen kann.
Ein Problem ist, dass die Intervalle disjunkt sein sollen. Das was du konstruierst ist keine disjunkte Vereinigung.
Moeglicherweise geht es schon mit nur offenen Mengen, aber das muesste man anders beweisen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:18 Sa 17.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Felix,
> Moin,
>
> > > Zeigen Sie, dass jede offene Menge [mm]G\subset\IR^n[/mm] die
> > > disjunkte Vereinigung von abzählbar vielen (i.a. nicht
> > offenen)
> > > Intervallen ist.
> >
> > ich sehe jetzt keinen Grund, warum man die Intervalle nicht
> > alle als offen annehmen kann.
>
> Ein Problem ist, dass die Intervalle disjunkt sein sollen.
> Das was du konstruierst ist keine disjunkte Vereinigung.
uhhh.... Danke für den Hinweis: Das habe ich komplett ignoriert (weil ich
es total überlesen hatte).
Aber ich denke eigentlich, dass, wenn man einen Beweis mit disjunkten
Intervallen hinbekommt (vielleicht kann man dafür aber auch Überlegungen
von mir mitverwenden; so nach dem Motto: Sei [mm] ${(q_n)}_n$ [/mm] eine Abzählung
von $G [mm] \cap Q\,.$ [/mm] Sei [mm] $n_0:=1\,.$ [/mm] Konstruiere wie oben ein offenes Intervall [mm] $I_0$ [/mm] um [mm] $q_{n_0}\,,$ [/mm]
es soll also [mm] $q_{n_0} \in I_0 \subseteq [/mm] G$ gelten. Wähle nun das kleinste [mm] $n_1 [/mm] > [mm] n_0=1$ [/mm] mit [mm] $q_{n_1} \notin I_0$ [/mm] ...
etc., pp.. ), dass man dabei die Intervalle [mm] $I_n$ [/mm] durch ihren inneren Kern
ersetzen kann - und diese inneren Kerne sollten dann alles offene Intervalle
sein - wenn ich gerade keinen Denkfehler habe ^^
P.S. Danke für's aufpassen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 18.08.2013 | | Autor: | Sam90 |
Erstmal danke für all die Antworten von euch, aber ehrlich gesagt weiß ich immer noch nicht wirklich, was genau ich machen muss... Wie ist das mit den Kästchen gemeint?
Ich habe in dem Buch Analysis 2 von Wolfgang Walter was gefunden, dass der ersten Aufgabe sehr ähnelt, aber trotzdem verstehe ich nur Bahnhof. Kann ich damit was anfangen? Klick!
Das ist Seite 313.
Grüße
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> Erstmal danke für all die Antworten von euch, aber ehrlich
> gesagt weiß ich immer noch nicht wirklich, was genau ich
> machen muss... Wie ist das mit den Kästchen gemeint?
Formal ist zu zeigen, dass [mm] \mathcal{A}:=\{A_{I}| I \subset \{1,...,n\}\} [/mm] wobei [mm] A_{I}:=\bigcup_{i\in I}A_{i} [/mm] , eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist und das ist klar.
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