Übungsserie 2, Aufgabe 2 < VK 58: Alg 1 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | II-2: a) Beweisen Sie: ein Gruppenhomomorphismus [mm] \phi [/mm] ist genau dann injektiv, wenn Kern [mm] \phi [/mm] = [mm] {e_{G}}.
[/mm]
b) Begründen Sie, dass [mm] (\IZ [/mm] , +) isomorph ist zu [mm] (n\IZ [/mm] , +) für alle natürlichen Zahlen n. |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:16 So 11.03.2012 | | Autor: | diddy449 |
(a)
[mm] $"\Rightarrow"$
[/mm]
Sei [mm] $\phi: G\to [/mm] H $ injektiv, dann muss, da [mm] $\phi(e_G)=e_H$ [/mm] ist, auch [mm] $ker\phi [/mm] = [mm] \{e_G\}$ [/mm] sein. (also [mm] $\subseteq [/mm] $ gilt immer für Homomorphismen und [mm] $\supseteq$ [/mm] gilt aufgrund der Injektivität)
[mm] $"\Leftarrow"$
[/mm]
Sei [mm] $ker\phi [/mm] = [mm] \{e_G\}$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\forall a,b\in\G: \phi(a) [/mm] = [mm] \phi(b) \gdw e_H [/mm] = [mm] \phi(a)\phi(b)^{-1} [/mm] = [mm] \phi(a)\phi(b^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(a*b^{-1}) \gdw e_G [/mm] = [mm] a*b^{-1} \gdw [/mm] a = b$
Damit ist [mm] \phi [/mm] injektiv.
(b) Betrachte die Abbildung [mm] $\phi:\IZ\to n\IZ$ [/mm] mit [mm] $\phi(z)=n*z$, [/mm] diese ist ein Gruppenhomomorphismus. Weiter ist dieser Homomorphismus injektiv (da [mm] $ker\phi=\{0\}$) [/mm] und außerdem surjektiv nach Konsturktion von [mm] n\IZ.
[/mm]
Insgesamt also ein Isomorphismus und damit [mm] $\IZ\cong n\IZ$.
[/mm]
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