Übungsserie 2, Aufgabe 4 < VK 58: Alg 1 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | II-4: Zeigen Sie: Besitzt eine endliche Gruppe $G$ einen fixpunktfreien Automorphismus [mm] $\phi$ [/mm] mit [mm] $\phi^{2} [/mm] = Id$ , so ist $G$ abelsch.
Hinweis: Benutzen Sie Übungsaufgabe II-3 ! |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 01:50 Mo 12.03.2012 | | Autor: | diddy449 |
Zeige, dass [mm] $\phi(a) [/mm] = [mm] a^{-1}$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] G$ ist, denn dann ist nach II-1(iii) G abelsch.
Also:
Nach II-3 gilt:
[mm] $\forall a\in [/mm] G\ [mm] \exists^1 b\in [/mm] G: [mm] b^{-1}*\phi(b) [/mm] = a$
[mm] $\Rightarrow a^{-1} [/mm] = [mm] (b^{-1}*\phi(b))^{-1} [/mm] = [mm] \phi(b^{-1})*b [/mm] = [mm] \phi(b^{-1})*\phi^2(b) [/mm] = [mm] \phi(b^{-1}*\phi(b)) [/mm] = [mm] \phi(a)$
[/mm]
Damit ist alles gezeigt.
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