Übungsserie 4, Aufgabe 2 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | IV-2: Zeigen Sie die Konvergenz folgender Zahlenfolgen [mm] (a_n)_{n\ge n_{0} } [/mm] gegen einen Grenzwert a durch [mm] (\epsilon,n_{0})-Abschaetzung, [/mm] d.h. Bestimmen Sie [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 ein [mm] n_{0}=n_{0}(\epsilon), [/mm] sodass [mm] |a-a_{n}| \le \epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
(a) [mm] a_{n}=\bruch{n^{2}}{n^{2}+2n+2}
[/mm]
(b) [mm] a_{n}=(1+\bruch{1}{n})^{10} [/mm] |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Di 06.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
Der Grenzwert ist a=1.
Setze [mm] $n_0(\varepsilon) [/mm] := min [mm] \{ n \in \IN | n > \frac{4}{\varepsilon}\} [/mm] $
(Minimum existiert nach der archimedischen Eigenschaft.)
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \exists n_0 [/mm] = [mm] n_0(\varepsilon) \in \IN: [/mm] | [mm] a_n [/mm] - 1 | < [mm] \varepsilon \qquad \forall [/mm] n [mm] \ge n_0$
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge n_0(\varepsilon)$ [/mm] gilt:
[mm]| a_n - a | = | \frac{n^2}{n^2+2n+2} - 1 | = | \frac{-2n-2}{n^2+2n+2} | = | \frac{2n+2}{n^2+2n+2} | < | \frac{2n+2n}{n^2+2n+2} | < | \frac{4n}{n^2} | = | \frac{4}{n} | < | \frac{4}{n_0(\varepsilon)} | < \varepsilon [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mi 07.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm].
> Der Grenzwert ist a=1.
> Setze [mm]n_0(\varepsilon) := min \{ n \in \IN | n > \frac{4}{\varepsilon}\}[/mm]
>
> (Minimum existiert nach der archimedischen Eigenschaft.)
>
> [mm]\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 = n_0(\varepsilon) \in \IN: | a_n - 1 | < \varepsilon \qquad \forall n \ge n_0[/mm]
>
> [mm]\forall n \ge n_0(\varepsilon)[/mm] gilt:
>
> [mm]| a_n - a | = | \frac{n^2}{n^2+2n+2} - 1 | = | \frac{-2n-2}{n^2+2n+2} | = | \frac{2n+2}{n^2+2n+2} | < | \frac{2n+2n}{n^2+2n+2} | < | \frac{4n}{n^2} | = | \frac{4}{n} | < | \frac{4}{n_0(\varepsilon)} | < \varepsilon[/mm]
Alles bestens
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Okay, super :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
Der Grenzwert ist a=1.
Setze [mm] $n_0(\varepsilon) [/mm] := min [mm] \{ n \in \IN | n > \frac{2520}{\varepsilon}\} [/mm] $
Auch hier existiert das Minimum nach der archimedischen Eigenschaft.
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \exists n_0 [/mm] = [mm] n_0(\varepsilon) \in \IN: [/mm] | [mm] a_n [/mm] - 1 | < [mm] \varepsilon \qquad \forall [/mm] n [mm] \ge n_0$
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge n_0(\varepsilon)$ [/mm] gilt:
[mm]
| a_n - a | = | \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{10} - 1 | = | \summe_{k=0}^{10} \vektor{10 \\ k} \left( \frac{1}{n} \right)^k - 1 | = | \summe_{k=1}^{10} \vektor{10 \\ k} \left( \frac{1}{n} \right)^k | < 10 * \vektor{10 \\ 5} * \frac{1}{n} = \frac{2520}{n} < \frac{2520}{n_0(\varepsilon)} < \varepsilon
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kimmel!
> [mm]\forall n \ge n_0(\varepsilon)[/mm] gilt:
>
> [mm]| a_n - a | = | \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{10} - 1 | = | \summe_{k=0}^{10} \vektor{10 \\
k} \left( \frac{1}{n} \right)^k - 1 | = | \summe_{k=1}^{10} \vektor{10 \\
k} \left( \frac{1}{n} \right)^k | < 10 * \vektor{10 \\
5} * \frac{1}{n} = \frac{2520}{n} < \frac{2520}{n_0(\varepsilon)} < \varepsilon[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Sa 31.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke, Loddar!
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