Übungsserie 5, Aufgabe 3 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V-3: Zeigen Sie die Konvergenz und bestimmen Sie die Summen der folgenden Reihen: (Hinweis: Teleskopsummen)
a) [mm] \bruch{1}{1*2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3*4} [/mm] ...
b) [mm] \bruch{1}{1*3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3*5} [/mm] ...
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3n^{2}+3n+1}{n^{3}(n+1)^{3}} [/mm] |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] $\frac{1}{1*2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2*3} [/mm] + [mm] \frac{1}{3*4}... [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) [/mm] = 1$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Di 20.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kimmel!
Die Aufteilung der Summanden (Partialbruchzerlegung) sowie der endgültige Grenzwert sind korrekt.
Allerdings solltest Du doch noch ein/zwei Zwischenschritte zur Vervollständigung einer kompletten Lösung ergänzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke für die Korrektur, Loddar.
Jetzt ok?
$ [mm] \frac{1}{1\cdot{}2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2\cdot{}3} [/mm] + [mm] \frac{1}{3\cdot{}4}... [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) =\limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right) [/mm] = 1 $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Korrektur, Loddar.
>
> Jetzt ok?
>
> [mm]\frac{1}{1\cdot{}2} + \frac{1}{2\cdot{}3} + \frac{1}{3\cdot{}4}... = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) =\limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right) = 1[/mm]
Vor dem letzten "=" muß es lauten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) [/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Oha, ups.
Stimmt, du hast recht, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
(Partialbruchzerlegung)
[mm]\frac{1}{1*3} + \frac{1}{2*4} + \frac{1}{3*5}... = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) \right) = \limes_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) \right) = \limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{3}{2}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> (Partialbruchzerlegung)
>
> [mm]\frac{1}{1*3} + \frac{1}{2*4} + \frac{1}{3*5}... = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) \right) = \limes_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) \right) = \limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{3}{2}[/mm]
Du hast den Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] vergessen ! Der Reihenwert ist also = [mm] \frac{3}{4}
[/mm]
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke schön.
Irgendwie unterschlage ich solche kleinen Dinge immer...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm]
\frac{3n^2+3n+1}{n^3(n+1)^3} = \frac{A}{n^3} + \frac{B}{(n+1)^3} = \frac{An^3 + 3An^2 + 3An + A+ Bn^3}{n^3(n+1)^3} = \frac{A+B}{n+1} + \frac{A(3n^2+3n+1)}{n^3(n+1)^3}
[/mm]
Koeffizientenvergleich: $ \ A = 1; B = -1 $
[mm]
\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3n^2+3n+1}{n^3(n+1)^3} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3} \right) = \limes_{m\rightarrow\infty} \sum_{n=1}^{m} \left( \frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3} \right) = \limes_{m\rightarrow\infty} \left( 1 - \frac{1}{(m+1)^3} \right) = 1
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]
\frac{3n^2+3n+1}{n^3(n+1)^3} = \frac{A}{n^3} + \frac{B}{(n+1)^3} = \frac{An^3 + 3An^2 + 3An + A+ Bn^3}{n^3(n+1)^3} = \frac{A+B}{n+1} + \frac{A(3n^2+3n+1)}{n^3(n+1)^3}
[/mm]
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> Koeffizientenvergleich: [mm]\ A = 1; B = -1[/mm]
>
> [mm]
\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3n^2+3n+1}{n^3(n+1)^3} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3} \right) = \limes_{m\rightarrow\infty} \sum_{n=1}^{m} \left( \frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3} \right) = \limes_{m\rightarrow\infty} \left( 1 - \frac{1}{(m+1)^3} \right) = 1
Das stimmt.
FRED
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke für die Korrekturen, fred!
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