unabh. Variable substituieren < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:07 Mo 22.10.2012 | | Autor: | kappen |
Hi Leute, stehe gerade auf dem Schlauch und bräuchte einen Schubs:
ich habe eine Funktion $f(x(t))$. Diese soll nach x abgeleitet werden. Ich kann aber das $x(t)$ durch eine andere Funktion $g(t)$ ersetzen, die unter Umständen einfacher ist.
Was ich machen möchte ist ein Wechsel der unabhängigen Variable. Also von x(t) -> g(t). Was passiert dann mit der Ableitung nach x? Ich kann x(t) nicht einfach mit g(t) ersetzen und nach g ableiten... aber wie geht es dann?
Ich kann mir das gerade mit der Kettenregel nicht richtig hinbiegen.
In Wirklichkeit ist das Problem komplexer, es handelt sich um eine Vektorwertige Funktion, aber ich denke das ist erstmal einfacher zum Verstehen hier.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Verstehe ich das richtig, du kennst die Funktion [mm]y = h(t) = (f \circ g)(t)[/mm] und möchtest daraus die Ableitung von [mm]f[/mm] nach der Variablen [mm]x = g(t)[/mm] berechnen? Nach der Kettenregel gilt
[mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}[/mm]
Oder anders herum:
[mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}[/mm]
Rechts mußt du nachträglich [mm]t = g^{-1}(x)[/mm] substituieren.
Natürlich müssen die Definitionsintervalle so gewählt sein, daß die vorkommenden Funktionen differenzierbar sind und x = g(t) umkehrbar mit nicht verschwindender Ableitung ist.
Beispiel:
[mm]y = \cos^2 t \, , \ \ x = \sin t[/mm]
[mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \frac{-2 \sin t \cos t}{\cos t} = -2 \sin t = -2x[/mm]
In höheren Dimensionen dürfte das aber bald komplizierter werden. Ob sich da die Ergebnisse aus dem Eindimensionalen einfach so übertragen lassen ...
|
|
|
|
