unabhängige Z.v. E(X) Var(X) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Do 15.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | [mm] Y_0,...,Y_n [/mm] seien unabhängige Zufallsvariable mit [mm] E(Y_i)=0,Var(Y_i)=\sigma^2 \in (0,\infty). [/mm] Zudem seien a und b [mm] \in \IR [/mm] fest. Die Zufallsvariable [mm] X_1, ...,X_n [/mm] seien für i=1,..n wie folgt definiert:
[mm] X_i=\begin{cases} aY_i-bY_{i-1}, & \mbox{falls} i \mbox{ gerade} \\ aY_i+bY_{i-1}, & \mbox{sonst.} \end{cases}
[/mm]
a)Zeigen Sie, dass [mm] Var(X_i)=(a^2+b^2)\sigma^2 [/mm] für alle i gilt.
b)Bestimmen Sie die Kovarianz [mm] Cov(X_i,X_j) [/mm] für i<j.
c)Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(|\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i|\ge \epsilon)=0 [/mm] , [mm] \forall \epsilon [/mm] >0. |
Hallo zusammen,
verstehe zunächst einmal nicht wie man a) lösen kann vielleicht habt ihr ja ein Tipp für mich.
a) Zunächst soll wohl der Erwartungswert von X berechnet werden um auf Varianz von X zu kommen.
$ \ [mm] E(X_i)\ =\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1})+\bruch{1}{2}\cdot{}(aY_i+bY_{i-1}) [/mm] $
[mm] =\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1}+aY_i+bY_{i-1})=aY_i
[/mm]
und wenn ich nun das Verschiebunggesetz nutze
$ [mm] Var(X_i)=E(X^2)-E(X)^2= aY_i-a^2Y_i^2 [/mm] $
ihr seht irgendwas ist Falsch allein b ist schon weggefallen.
Was meint ihr?
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Sich erstmal den Erwartungswert ausrechnen ist gut, weil den brauch man hinterher noch.
> [mm]Y_0,...,Y_n[/mm] seien unabhängige Zufallsvariable mit
> [mm]E(Y_i)=0,Var(Y_i)=\sigma^2 \in (0,\infty).[/mm] Zudem seien a
> und b [mm]\in \IR[/mm] fest. Die Zufallsvariable [mm]X_1, ...,X_n[/mm] seien
> für i=1,..n wie folgt definiert:
>
> [mm]X_i=\begin{cases} aY_i-bY_{i-1}, & \mbox{falls} i \mbox{ gerade} \\ aY_i+bY_{i-1}, & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> a)Zeigen Sie, dass [mm]Var(X_i)=(a^2+b^2)\sigma^2[/mm] für alle i
> gilt.
> b)Bestimmen Sie die Kovarianz [mm]Cov(X_i,X_j)[/mm] für i<j.
> c)Zeigen Sie:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}P(|\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i|\ge \epsilon)=0[/mm]
> , [mm]\forall \epsilon[/mm] >0.
> Hallo zusammen,
> verstehe zunächst einmal nicht wie man a) lösen kann
> vielleicht habt ihr ja ein Tipp für mich.
>
> a) Zunächst soll wohl der Erwartungswert von X berechnet
> werden um auf Varianz von X zu kommen.
> [mm]\ E(X_i)\ =\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1})+\bruch{1}{2}\cdot{}(aY_i+bY_{i-1})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1}+aY_i+bY_{i-1})=aY_i[/mm]
>
Warum denn das. Setzte mal für [mm] X_{i} [/mm] die Definition ein und nutze die Voraussetzung [mm] E(Y_{i})=0. [/mm] Was erhälst du?
> und wenn ich nun das Verschiebunggesetz nutze
> [mm]Var(X_i)=E(X^2)-E(X)^2= aY_i-a^2Y_i^2[/mm]
Das stimmt hier auch nicht es ist ja nicht notwendigerweise [mm] E(X)=E(X^2).
[/mm]
> ihr seht irgendwas
> ist Falsch allein b ist schon weggefallen.
>
> Was meint ihr?
Also zu a) da würde ich eine Fallunterscheidung nach $i$ ist gerade und $i$ ist ungerade machen. Also einmal für das eine die Varianz ausrechnen und einmal für das andere.
Dabei muss man beachten, dass die [mm] Y_{0},.........,Y_{n} [/mm] stochastisch unabhängig sind, wodurch [mm] COV(Y_{i},Y_{j})=0 [/mm] für [mm] i\not=j.(Aus [/mm] stochastisch unabhängig folgt unkorreliert, die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht) Das braucht man um die Summe zweier Varianzen auseinanderzuziehen, denn allgemein Gilt ja für einfache Zufallsvariablen [mm] $Z_{i};\ [/mm] i=0....n$: [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}Z_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(Z_{i})+2 \summe_{i
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:20 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Hallo blascowitz,
> Sich erstmal den Erwartungswert ausrechnen ist gut, weil
> den brauch man hinterher noch.
> > [mm]Y_0,...,Y_n[/mm] seien unabhängige Zufallsvariable mit
> > [mm]E(Y_i)=0,Var(Y_i)=\sigma^2 \in (0,\infty).[/mm] Zudem seien a
> > und b [mm]\in \IR[/mm] fest. Die Zufallsvariable [mm]X_1, ...,X_n[/mm] seien
> > für i=1,..n wie folgt definiert:
> >
> > [mm]X_i=\begin{cases} aY_i-bY_{i-1}, & \mbox{falls} i \mbox{ gerade} \\ aY_i+bY_{i-1}, & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > a)Zeigen Sie, dass [mm]Var(X_i)=(a^2+b^2)\sigma^2[/mm] für alle i
> > gilt.
> > b)Bestimmen Sie die Kovarianz [mm]Cov(X_i,X_j)[/mm] für i<j.
> > c)Zeigen Sie:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}P(|\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i|\ge \epsilon)=0[/mm]
> > , [mm]\forall \epsilon[/mm] >0.
> > [mm]\ E(X_i)\ =\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1})+\bruch{1}{2}\cdot{}(aY_i+bY_{i-1})[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1}+aY_i+bY_{i-1})=aY_i[/mm]
>
> >
> Warum denn das.
------------
[mm] E(X_i)=\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1}+aY_i+bY_{i-1})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i+aY_i+bY_{i-1}-bY_{i-1})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} \cdot{}(2aY_i)
[/mm]
[mm] =aY_i [/mm]
------------
> Setzte mal für [mm]X_{i}[/mm] die Definition ein und
> nutze die Voraussetzung [mm]E(Y_{i})=0.[/mm] Was erhälst du?
$ [mm] X_i=\begin{cases} aY_i-bY_{i-1}, & \mbox{falls} i \mbox{ gerade} \\ aY_i+bY_{i-1}, & \mbox{sonst.} \end{cases} [/mm] $
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falls i gerade
[mm] E(X_i)=\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1}+aY_i+bY_{i-1})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} \cdot{}(X_i+aY_i+bY_{i-1})
[/mm]
falls i ungerade
[mm] E(X_i)=\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1}+aY_i+bY_{i-1})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} \cdot{}(aY_i-bY_{i-1}+X_i)
[/mm]
------------
Ich erkenne leider nicht wie ich nun noch $ [mm] E(Y_{i})=0. [/mm] $ nutzen kann.
Schönen Gruß
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Guten Morgen. Also ich zeig dir das mal für $i$ ist gerade. Dann ist [mm] $X_{i}=aY_{i}-bY_{i-1}$. [/mm] Dann [mm] $E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1})=aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})$ [/mm] Weiter kannst du jetzt machen. Das selbe für $i$ ungerade. Dann die Varianz ausrechnen. Das geht so ähnlich. Wieder stur einsetzen. Und wie bereits gesagt, die Unkorreliertheit nutzen.
Einen schönen Tag
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
a)
Falls i gerade dann ist [mm] X_{i}=aY_{i}-bY_{i-1} [/mm] . Dann
[mm] E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1})
[/mm]
[mm] =aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1}) [/mm] , das folgt doch aus der Unabhängigkeit von [mm] Y_i
[/mm]
Falls i ungerade dann ist [mm] X_{i}=aY_{i}+bY_{i-1} [/mm] . Dann
[mm] E(X_{i})=E(aY_{i}+bY_{i-1})
[/mm]
[mm] =aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1}) [/mm]
mit$ [mm] X_i=\begin{cases} aY_i-bY_{i-1}, & \mbox{falls} i \mbox{ gerade} \\ aY_i+bY_{i-1}, & \mbox{sonst.} \end{cases} [/mm] $
[mm] Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2+\bruch{1}{2}((aY_i+bY_{i-1})-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2
[/mm]
Hier kann ich doch nicht einfach einsetzen so dass
[mm] =\bruch{1}{2}(X_i-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2+\bruch{1}{2}(X_i-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2, [/mm] oder?
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> a)
> Falls i gerade dann ist [mm]X_{i}=aY_{i}-bY_{i-1}[/mm] . Dann
> [mm]E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1})[/mm]
> [mm]=aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})[/mm] , das folgt doch aus der
> Unabhängigkeit von [mm]Y_i[/mm]
Das folgt einfach aus der Linearität des Erwartungswertes. Was weißt du nun über [mm] E(Y_{i}) [/mm] und [mm] E(Y_{i-1})?
[/mm]
>
> Falls i ungerade dann ist [mm]X_{i}=aY_{i}+bY_{i-1}[/mm] . Dann
> [mm]E(X_{i})=E(aY_{i}+bY_{i-1})[/mm]
> [mm]=aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})[/mm]
>
> mit[mm] X_i=\begin{cases} aY_i-bY_{i-1}, & \mbox{falls} i \mbox{ gerade} \\ aY_i+bY_{i-1}, & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2+\bruch{1}{2}((aY_i+bY_{i-1})-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2[/mm]
> Hier kann ich doch nicht einfach einsetzen so dass
> [mm]=\bruch{1}{2}(X_i-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2+\bruch{1}{2}(X_i-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2,[/mm]
> oder?
Setzt für die [mm] V(X_{i}) [/mm] erstmal die Definition von [mm] X_{i} [/mm] ein und dann schreibe mal die Varianz der Summe von zwei Zufallsvariablen als Summe der Varianzen von zwei Zufallsvariablen(Formel hab ich im ersten Post geschrieben)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
> > a)
> > Falls i gerade dann ist [mm]X_{i}=aY_{i}-bY_{i-1}[/mm] . Dann
> > [mm]E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1})[/mm]
> > [mm]=aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})[/mm] , das folgt doch aus der
> > Unabhängigkeit von [mm]Y_i[/mm]
Ohh, hatte mich vertan.
> Was weißt du nun über [mm]E(Y_{i})[/mm] und [mm][mm] E(Y_{i-1})?
[/mm]
Ohh, natürlich ich hab mich so auf's rechnen konzentriert :).
[mm] E(Y_{i})=0 [/mm] und [mm] E(Y_{i-1})=0 [/mm] da ja schon in der Aufgabenstellung [mm] E(Y_i)=0 [/mm] gegebn ist? Das ist verwirrend ich muß etwas falsch verstechen den [mm] E(X_{i}) [/mm] kann ja nicht 0 sein oder?
Aber ich kann ja zunächst mit [mm] E(X_i)=aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1}) [/mm] weiterrechnen
> > Falls i ungerade dann ist [mm]X_{i}=aY_{i}+bY_{i-1}[/mm] . Dann
> > [mm]E(X_{i})=E(aY_{i}+bY_{i-1})[/mm]
> > [mm]=aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})[/mm]
> >
> > mit[mm] X_i=\begin{cases} aY_i-bY_{i-1}, & \mbox{falls} i \mbox{ gerade} \\ aY_i+bY_{i-1}, & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2+\bruch{1}{2}((aY_i+bY_{i-1})-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2[/mm]
> > Hier kann ich doch nicht einfach einsetzen so dass
> >
> [mm]=\bruch{1}{2}(X_i-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2+\bruch{1}{2}(X_i-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2,[/mm]
> > oder?
> Setzt für die [mm]V(X_{i})[/mm] erstmal die Definition von [mm]X_{i}[/mm] ein
> und dann schreibe mal die Varianz der Summe von zwei
> Zufallsvariablen als Summe der Varianzen von zwei
> Zufallsvariablen(Formel hab ich im ersten Post
> geschrieben)
[mm] Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-E(X_i))^2+\bruch{1}{2}((aY_i+bY_{i-1})-E(X_i))^2
[/mm]
$ [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i}\cdot COV(X_{i},Y_{i}) [/mm] $
Meinst du es so?
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> > > a)
> > > Falls i gerade dann ist [mm]X_{i}=aY_{i}-bY_{i-1}[/mm] .
> Dann
> > > [mm]E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1})[/mm]
> > > [mm]=aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})[/mm] , das folgt doch aus der
> > > Unabhängigkeit von [mm]Y_i[/mm]
> Ohh, hatte mich vertan.
> > Was weißt du nun über [mm]E(Y_{i})[/mm] und [mm][mm]E(Y_{i-1})?[/mm]
Ohh, natürlich ich hab mich so auf's rechnen konzentriert :).
> [mm]E(Y_{i})=0[/mm] und [mm]E(Y_{i-1})=0[/mm] da ja schon in der Aufgabenstellung [mm]E(Y_i)=0[/mm] gegebn ist? Das ist verwirrend ich muß etwas falsch verstechen den [mm]E(X_{i})[/mm] kann ja nicht 0 sein oder?
Was spricht dagegen? I
Aber ich kann ja zunächst mit [mm]E(X_i)=aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})[/mm] weiterrechnen
> > Falls i ungerade dann ist [mm]X_{i}=aY_{i}+bY_{i-1}[/mm] . Dann
> > [mm]E(X_{i})=E(aY_{i}+bY_{i-1})[/mm]
> > [mm]=aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})[/mm]
> >
> > mit[mm] X_i=\begin{cases} aY_i-bY_{i-1}, & \mbox{falls} i \mbox{ gerade} \\ aY_i+bY_{i-1}, & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2+\bruch{1}{2}((aY_i+bY_{i-1})-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2[/mm]
> > Hier kann ich doch nicht einfach einsetzen so dass
> >
> [mm]=\bruch{1}{2}(X_i-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2+\bruch{1}{2}(X_i-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2,[/mm]
> > oder?
> Setzt für die [mm]V(X_{i})[/mm] erstmal die Definition von [mm]X_{i}[/mm] ein
> und dann schreibe mal die Varianz der Summe von zwei
> Zufallsvariablen als Summe der Varianzen von zwei
> Zufallsvariablen(Formel hab ich im ersten Post
> geschrieben)
[mm]Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-E(X_i))^2+\bruch{1}{2}((aY_i+bY_{i-1})-E(X_i))^2[/mm]
[mm]Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i}\cdot COV(X_{i},Y_{i})[/mm]
Meinst du es so?
So ungefähr. Rechne mal weiter. Sei [mm] Var(X_{i})=Var(aY_{i}-bY_{i-1})=............
[/mm]
Verwende die Formel für die Summe mit zwei Summanden. Was erhälst du dann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
So ungefähr. Rechne mal weiter. Sei [mm]Var(X_{i})=Var(aY_{i}-bY_{i-1})=Var(aY_i)-Var(bY_{i-1})[/mm]
$ [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(Y_{i})+2 \summe_{i}\cdot COV(Y_{i},Y_{i-1}) [/mm] $
[mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(Y_{i})
[/mm]
Versteh nicht ganz,
Ziel ist doch $ [mm] Var(X_i)=(a^2+b^2)\sigma^2 [/mm] $
Lieben Gruß
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> So ungefähr. Rechne mal weiter. Sei
> [mm]Var(X_{i})=Var(aY_{i}-bY_{i-1})=Var(aY_{i}) + Var(- bY_{i-1})[/mm]
Da oben hat sich ein Fehler eingeschlichen: so stimmts: [mm] Var(aY_{i}) [/mm] + Var(- [mm] bY_{i-1}). [/mm] Man kann das $-$ nicht einfach rausziehen, erstmal so schreiben
Das kann man weiter vereinfachen zu [mm] $a^2Var(Y_{i})+(-b)^2Var(Y_{i-1}) [/mm] $(ziehen konstanten im Quadrat raus)= [mm] a^2\sigma^2+b^2\sigma^2=(a^2+b^2)\sigma^2. [/mm] Jetzt das selbe nochmal für Den ungerade fall.
> [mm]Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(Y_{i})+2 \summe_{i}\cdot COV(Y_{i},Y_{i-1})[/mm]
Das stimmt sicherlich nicht: Richig wäre [mm] erstmal:Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
>
> [mm]Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(Y_{i})[/mm]
Stimmt so auch niciht
> Versteh nicht ganz,
>
> Ziel ist doch [mm]Var(X_i)=(a^2+b^2)\sigma^2[/mm]
>
> Lieben Gruß
Lieben Gruß zurück
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Abend blascowitz,
du schreibst
$ [mm] erstmal:Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
ich fasse mal zusammen
Für den gerdaden Fall
[mm] E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1}) =aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})
[/mm]
und für den ungeraden Fall
[mm] E(X_{i})=E(aY_{i}+bY_{i-1}) =aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1}).
[/mm]
somit folgt für den geraden Fall
[mm] Var(X_i)=$ Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2 [/mm] $
[mm] =\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-E(X_i))^2
[/mm]
<=>$ [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i*
[mm] =\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})
[/mm]
[mm] <=>Var(X_i)=Var(aY_i-bY_{i-1})
[/mm]
= [mm] a^2Var(Y_{i})+(-b)^2Var(Y_{i-1}) [/mm]
[mm] a^2\sigma^2+b^2\sigma^2
[/mm]
[mm] =(a^2+b^2)\sigma^2. [/mm]
Kannst du mir vielleicht * erklären. Also wie man auf die Zeile kommt.
und den ungeraden Fall
$ [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(Y_{i})+2 \summe_{i}\cdot COV(Y_{i},Y_{i-1}) [/mm] $
Wieso ist hier im Gegensatz zu * [mm] Y_i [/mm] in der Kovarianz?
Lieben Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
HAbe es zusammenfassen können siehe oben.
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> Abend blascowitz,
> du schreibst
> [mm]erstmal:Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
>
>
>
> ich fasse mal zusammen
>
> Für den gerdaden Fall
> [mm]E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1}) =aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})[/mm]
> und
> für den ungeraden Fall
> [mm]E(X_{i})=E(aY_{i}+bY_{i-1}) =aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1}).[/mm]
>
Was weißt du denn nun über [mm] E(Y_{i}) [/mm] und [mm] E(Y_{i-1}). [/mm] Guck mal in die Voraussetzung. [mm] E(Y_{i})=..... [/mm] ?
> somit folgt für den geraden Fall
> [mm]Var(X_i)=[/mm]
> [mm]Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-E(X_i))^2[/mm]
>
Erste Frage: Wo kommen die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] her?. Die Varianz einer einfachen Zufallsvariablen $A$ ist: [mm] Var(A)=[red]$E(A-E(A))^2$[/red].
[/mm]
> <=>[mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
> , *
> [mm]=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})[/mm]
>
> [mm]Var(X_i)=Var(aY_i-bY_{i-1})[/mm]
>
> = [mm]a^2Var(Y_{i})+(-b)^2Var(Y_{i-1})[/mm]
> [mm]a^2\sigma^2+b^2\sigma^2[/mm]
> [mm]=(a^2+b^2)\sigma^2.[/mm]
>
Das stimmt so. Jetzt dasselbe für den anderen Fall machen.
> Kannst du mir vielleicht * erklären. Also wie man auf die
> Zeile kommt.
Na diese Zeile ist eine Verallgemeinerung von [mm] $Var(C+D)=Var(C)+Var(D)+2\cdot [/mm] COV(C,D)$, das folgt aus der Definition der Varianz(siehe oben). Per Vollständiger Induktion lässt sich dass dann verallgemeinern.
>
> und den ungeraden Fall
> [mm]Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(Y_{i})+2 \summe_{i}\cdot COV(Y_{i},Y_{i-1})[/mm]
>
> Wieso ist hier im Gegensatz zu * [mm]Y_i[/mm] in der Kovarianz?
Die Zeile ist falsch, sollte ich das geschrieben haben, entschuldige ich mich für den Fehler.
>
> Lieben Gruß
Danke gleichfalls
>
>
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Hallo blascowitz,
>>$ [mm] =\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-E(X_i))^2 [/mm] $
>Erste Frage: Wo kommen die $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ her?. Die Varianz einer >einfachen Zufallsvariablen A ist: Var(A)=$ [mm] E(A-E(A))^2 [/mm] $.
Wie in
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Varianz
Da im geraden Fall die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist.
a)Für den geraden Fall
> $ [mm] E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1}) =aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1}) [/mm] $
> somit folgt für den geraden Fall
> $ [mm] Var(X_i)= [/mm] $
> $ [mm] Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2 [/mm] $
> $ [mm] =\bruch{1}{2}((aY_i-bY_{i-1})-E(X_i))^2 [/mm] $
> <=>$ [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
> $ [mm] =\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i}) [/mm] $
>
> $ [mm] Var(X_i)=Var(aY_i-bY_{i-1}) [/mm] $
>
> = $ [mm] a^2Var(Y_{i})+(-b)^2Var(Y_{i-1}) [/mm] $
> $ [mm] a^2\sigma^2+b^2\sigma^2 [/mm] $
> $ [mm] =(a^2+b^2)\sigma^2. [/mm] $
> für den ungeraden Fall
> $ [mm] E(X_{i})=E(aY_{i}+bY_{i-1}) =aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1}). [/mm] $
somit folgt für den ungeraden Fall
$ [mm] Var(X_i)=\bruch{1}{2}((aY_i+bY_{i-1})-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2 [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{2}((aY_i+bY_{i-1})+E(X_i))^2 [/mm] $
<=>$ [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
$ [mm] =\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i}) [/mm] $
$ [mm] Var(X_i)=Var(aY_i-bY_{i-1}) [/mm] $
= $ [mm] a^2Var(Y_{i})+(-b)^2Var(Y_{i-1}) [/mm] $
$ [mm] a^2\sigma^2+b^2\sigma^2 [/mm] $
$ [mm] =(a^2+b^2)\sigma^2. [/mm] $
b)Bestimmen Sie die Kovarianz $ [mm] Cov(X_i,X_j) [/mm] $ für i<j.
Mit $ [mm] Var(X_i)=(a^2+b^2)\sigma^2 [/mm] $.
[mm] \operatorname{Cov}(X_i, X_j) [/mm] := [mm] \operatorname E\bigl((X_i [/mm] - [mm] \operatorname E(X_i))(X_j [/mm] - [mm] \operatorname E(X_j))\bigr) [/mm]
=>$ [mm] Var(C+D)=Var(C)+Var(D)+2\cdot [/mm] COV(C,D) $
Das ist wohl einfaches einsetzen.
Das reicht mir erstmal danke für die Hilfe.
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Guten Morgen, also ich hab den Fall da nicht gefunden.(Das mag auch an der Frühen Uhrzeit liegen^^). Wie auch immer, vergiss das mal mit den [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Fassen wir mal Zusammen, was wir schon haben(und ich würde dich bitten, deine Rechnungen ohne das ganze zitierte hier mal reinzustellen, danke schön^^).
Also wir wissen nu schon das [mm] $Var(X_{i})=(a^2+b^2)\sigma^2$ [/mm] ist. Nu gehts an die Kovarianz. Was weißt du über die Kovarianz stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Di 20.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Morgen,
wenn du dir da sicher bist dann glaub ich dir mal. Hier nochmal ohne Kommentare und ohne 1/2:
a)Für den geraden Fall
[mm] E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1}) =aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1}) [/mm]
somit folgt für den geraden Fall
$ [mm] Var(X_i)=((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2 [/mm] $$ [mm] =((aY_i-bY_{i-1})-E(X_i))^2 [/mm] $
<=>$ [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
<=>$ [mm] Var(X_i)=Var(aY_i-bY_{i-1}) [/mm] $
= $ [mm] a^2Var(Y_{i})+(-b)^2Var(Y_{i-1}) [/mm] $=$ [mm] a^2\sigma^2+b^2\sigma^2 [/mm] $$ [mm] =(a^2+b^2)\sigma^2. [/mm] $
für den ungeraden Fall
$ [mm] E(X_{i})=E(aY_{i}+bY_{i-1}) =aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1}). [/mm] $
somit folgt für den ungeraden Fall
$ [mm] Var(X_i)=((aY_i+bY_{i-1})-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2 [/mm] $$ [mm] =((aY_i+bY_{i-1})+E(X_i))^2 [/mm] $
<=>$ [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
<=>$ [mm] Var(X_i)=Var(aY_i-bY_{i-1}) [/mm] $= $ [mm] a^2Var(Y_{i})+(-b)^2Var(Y_{i-1}) [/mm] $=$ [mm] a^2\sigma^2+b^2\sigma^2 [/mm] $$ [mm] =(a^2+b^2)\sigma^2. [/mm] $
b)Bestimmen Sie die Kovarianz [mm] Cov(X_i,X_j) [/mm] für i<j.
Wir wissen [mm] COV(X_{i},X_{j})=0 [/mm] für [mm] i\not=j. [/mm] für stochastisch unabhägige Zufallsvariablen [mm] X_1,...,X_n.
[/mm]
Aber hier sind nur $ [mm] Y_0,...,Y_n [/mm] $ unabhängige Zufallsvariable.
Weiterhin wissen wir.
$ [mm] Var(X_i)=(a^2+b^2)\sigma^2 [/mm] $.
$ [mm] \operatorname{Cov}(X_i, X_j) [/mm] := [mm] \operatorname E\bigl((X_i [/mm] $ - $ [mm] \operatorname E(X_i))(X_j [/mm] $ - $ [mm] \operatorname E(X_j))\bigr) [/mm] $
$ [mm] Var(C+D)=Var(C)+Var(D)+2\cdot [/mm] COV(C,D) $
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> Morgen,
> wenn du dir da sicher bist dann glaub ich dir mal. Hier
> nochmal ohne Kommentare und ohne 1/2:
> a)Für den geraden Fall
[mm] $E(X_{i})=E(aY_{i}-bY_{i-1}) =aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1}) [/mm] $
>
Jetzt schau mal in die Voraussetzung der Aufgabe, was du [mm] überE(Y_{i}) [/mm] und [mm] E(Y_{i-1}) [/mm] weißt.
> somit folgt für den geraden Fall
>
> [mm] Var(X_i)= [/mm] E [mm] ((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2[/mm] [mm] =((aY_i-bY_{i-1})-E(X_i))^2[/mm]
Erstmal die Definition Geradebiegen. [mm] $Var(X_{i})=E(X_{i}-E(X_{i}))^2$
[/mm]
>
> <=>[mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
Das ist schlichtweg falsch. Warum ist die [mm] Var(X_i)= [/mm] E [mm] ((aY_i-bY_{i-1})-(aE(Y_{i})-bE(Y_{i-1})))^2 \gdw [/mm] die Summe der Varianzen [mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
>
> <=>[mm] Var(X_i)=Var(aY_i-bY_{i-1})[/mm]
>
> = [mm]a^2Var(Y_{i})+(-b)^2Var(Y_{i-1}) [/mm]=[mm] a^2\sigma^2+b^2\sigma^2[/mm][mm] =(a^2+b^2)\sigma^2.[/mm]
Das stimmt so.Warum?(Stichwort Unabhängigkeit)
>
>
> für den ungeraden Fall
> [mm]E(X_{i})=E(aY_{i}+bY_{i-1}) =aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1}).[/mm]
>
> somit folgt für den ungeraden Fall
> [mm]Var(X_i)=((aY_i+bY_{i-1})-(aE(Y_{i})+bE(Y_{i-1})))^2[/mm][mm] =((aY_i+bY_{i-1})+E(X_i))^2[/mm]
>
> <=>[mm] Var(\summe_{i=0}^{n}X_{i})=\summe_{i=0}^{n}Var(X_{i})+2 \summe_{i
>
siehe oben
>
> <=>[mm] Var(X_i)=Var(aY_i-bY_{i-1}) [/mm]=
> [mm]a^2Var(Y_{i})+(-b)^2Var(Y_{i-1}) [/mm]=[mm] a^2\sigma^2+b^2\sigma^2[/mm][mm] =(a^2+b^2)\sigma^2.[/mm]
>
> b)Bestimmen Sie die Kovarianz [mm]Cov(X_i,X_j)[/mm] für i<j.
> Wir wissen [mm]COV(X_{i},X_{j})=0[/mm] für [mm]i\not=j.[/mm] für
> stochastisch unabhägige Zufallsvariablen [mm]X_1,...,X_n.[/mm]
>
> Aber hier sind nur [mm]Y_0,...,Y_n[/mm] unabhängige
> Zufallsvariable.
Richtig. Aber ihr hattet bestimmt auch den Satz, dass wenn man zwei stochastisch unabhängige einfache zufallsvariablen hat, dann ist die Summe und die Differenz der beiden auch stochastisch unabhängig. Versuche das mal zu verwenden.
>
> Weiterhin wissen wir.
> [mm]Var(X_i)=(a^2+b^2)\sigma^2 [/mm].
> [mm]\operatorname{Cov}(X_i, X_j) := \operatorname E\bigl((X_i[/mm]
> - [mm]\operatorname E(X_i))(X_j[/mm] - [mm]\operatorname E(X_j))\bigr)[/mm]
> [mm]Var(C+D)=Var(C)+Var(D)+2\cdot COV(C,D)[/mm]
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Di 20.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Danke blascowitz für deine Hilfe müßte jetzt selber zurecht kommen.
Bei Fragen melde ich mich nochmal
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