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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx} [/mm] |
Hi,
Hat hier jemand eine Idee dafür, habe es probiert zu substituieren mit t:= [mm] x^2 [/mm] und [mm] t:=\sqrt{1+x^2}, [/mm] aber damit wird die Fkt. nur noch schwerer zu integrieren. Ich meine von Prof gehört zu haben das man es mit cosh(x) oder sinh(x) substituieren soll, aber da sehe ich nicht, wie ich das machen soll, damit mir das was hilft?
Snafu
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hallo,
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx}[/mm]
> Hi,
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> Hat hier jemand eine Idee dafür, habe es probiert zu
> substituieren mit t:= [mm]x^2[/mm] und [mm]t:=\sqrt{1+x^2},[/mm] > aber damit
> wird die Fkt. nur noch schwerer zu integrieren. Ich meine
> von Prof gehört zu haben das man es mit cosh(x) oder
> sinh(x) substituieren soll, aber da sehe ich nicht, wie ich
> das machen soll, damit mir das was hilft?
Das ist eine möglichkeit. Ansonsten geht auch noch x=tan(u) . Mach doch mal und zeig wie weit du kommst.
> Snafu
LG
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Hi,
t:= [mm] \sqrt{1+x^2} [/mm] , dt = [mm] 0.5(1+x^2)^{-0.5}2x [/mm] dx <=> dx = [mm] \frac{\sqrt{1+x^2}}{2x} [/mm] dt = [mm] \frac{t}{2\sqrt{t^2-1}}
[/mm]
=> [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{t^3}\frac{t}{2\sqrt{t^2-1}} dt} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{t^2}\frac{1}{2\sqrt{t^2-1}} dt} [/mm] , v' := [mm] \frac{1}{t^2} [/mm] und u:= [mm] \frac{1}{2\sqrt{t^2-1}}
[/mm]
[mm] =-t^{-1}*0.5(t^2-1)^{-0.5} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{t}\frac{-1(t^2-1)^{-\frac{3}{2}}}{4}2t dt}
[/mm]
Snafu
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hallo,
ich sprach von der cosh / tan substitution. so wie du es da machst kommst du nicht weiter. Ich wollte sehen wie weit du damit kommst.
LG
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Hi,
ja das ist ja grad mein Problem, ich weiß nicht was ich mit was substituieren soll? Wo soll ich da denn cosh(x) einsetzten, damit er mir was bringt?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Sa 26.06.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Snafu!!
Versuch mal mit x=sinh(t) und dx=cosh(t)dt zu substituieren, dann guck, ob du die Gleichung [mm] cosh^2(t)-sinh^2(t)=1 [/mm] anwenden kannst. Dann bist du fast fertig.
Beste grüße
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Hi,
ah jetzt sehe ich es:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+sinh(t)^2}^3} cosh(t)dt}= \integral_{}^{}{\frac{1}{cosh(t)^3} cosh(t)dt} [/mm] =
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{cosh(x)^2} dt}= [/mm] tanh(t)
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx} [/mm] = [mm] tanh(sinh^{-1}(x))
[/mm]
=>was ist jetzt [mm] tanh(sinh^{-1}(x))?
[/mm]
Snafu
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> Hi,
>
> ah jetzt sehe ich es:
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+sinh(t)^2}^3} cosh(t)dt}= \integral_{}^{}{\frac{1}{cosh(t)^3} cosh(t)dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{cosh(x)^2} dt}=[/mm] tanh(t)
>
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx}[/mm] =
> [mm]tanh(sinh^{-1}(x))[/mm]
> =>was ist jetzt [mm]tanh(sinh^{-1}(x))?[/mm]
[mm] =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
[/mm]
>
> Snafu
gruß tee
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Hi,
kann man das auch irgendwie zeigen? oder ist das definiert?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 So 27.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Wende zunächst die Definition [mm] $\tanh(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ [/mm] an.
Damit bleibt noch das Problem mit [mm] $\cosh\left[\sinh^{-1}(x)\right]$ [/mm] .
Bedenke hierfür, dass gilt:
[mm] $$\cosh^2(z)-\sinh^2(z) [/mm] \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 So 27.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Vielen Danke. Jetzt passts.
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