uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Fr 08.01.2016 | | Autor: | kai1992 |
| Aufgabe | Aufgabe 1)a)
Bestimmen Sie das Integral [mm] \integral_{|z|=4}{\frac{e^{iz}}{z^{2}+2z+2} dz}
[/mm]
b) Bestimmen Sie das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{sin(x)}{x^{2}+2x+2} dx}. [/mm] Beim Grenzübergang ist die Konvergenz nachzuweisen. |
Hallo zusammen,
ich schreibe bald eine Ana3-Klausur und habe daher eine Frage zu obiger Aufgabe. In 1)a) komme ich mithilfe des Residuensatzes auf [mm] -0,5i*e^{-1-i}+0,5i*e^{1-i}, [/mm] ist das korrekt?
Nun zu Aufgabe b). Also ich muss ja nun eine Funktion f(z) und einen geeigneten Integrationsweg suchen. Ich dachte, dass man eventuell die Funktion [mm] \frac{e^{iz}}{z^{2}+2z+2} [/mm] aus a) verwenden kann, da [mm] e^{iz} [/mm] = cos(z)+i*sin(z), aber danach komme ich nicht mehr weiter. Über einen Hinweis würde ich mich sehr freuen, vielen Dank!
Lieben Gruß!
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 So 10.01.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo kai1992,
die erste Aufgabe ist fast richtig gelöst. Die Summe über die Residuen musst Du allerdings noch mit [mm] 2 \pi i [/mm] multiplizieren und damit hast Du dann das Integral gelöst.
Die Idee zur zweiten Aufgabe ist richtig, aber da ist noch einiges zu tun. Bei diesen Aufgaben versucht man, den Residuensatz wieder anzuwenden, der allerdings ja nur im Komplexen funktioniert. Man muss sich also eine komplexe Funktion suchen, die selbst oder deren Real- oder deren Imaginärteil auf dem Integrationsweg mit dem Integranden identisch ist. Bei Dir haut das hin, indem Du statt der Variablen x die komplexe Variable z nimmst und davon den Imaginärteil bildest, also
[mm] \bruch{\sin(x)}{x^2 + 2x +2} = Im {\bruch{e^{iz}}{z^2 + 2z +2}[/mm]
Für den Residuensatz braucht man jedoch einen geschlossenen Umlauf, den man hier noch nicht hat. Was man dann macht, ist, dass man das uneigentliche Integral als Grenzwert eines eigentlichen Integrals schreibt, wobei es häufig sinnvoll ist, die Grenzen des Integrals auf der reellen Achse mit einem [mm] R [/mm] zu bezeichnen. Damit hat man dann auf der reellen Achse einen Bereich von -R bis R, vom dem dann der Limes [mm] R \rightarrow \infty [/mm] später gebildet wird. Jetzt brauchst Du allerdings erst mal die Ergänzung Deines Integrationswegs zu einer geschlossenen Kurve und hierfür bietet sich ein Halbkreis in der oberen komplexen Ebene an (jetzt siehst Du auch, was es mit dem R auf sich hat).
Mit einem R, das groß genug ist, wirst Du damit das Residuum in der oberen Halbebene einschließen und, wie schön, Du kannst das Integral über diesen geschlossenen Weg mit Hilfe des Residuensatzes lösen. Jetzt hast Du allerdings auf einem Weg integriert, der länger ist als der ursprünglich vorgegebene und man muss überprüfen, was mit dem Integral über den Halbkreis passiert. Für [mm] R \rightarrow \infty [/mm] läuft dieses Integral meistens gegen Null, aber das musst Du nachweisen. Der Halbkreis in der komplexen Ebene lässt sich als
[mm] z = R e^{i \varphi} [/mm], wobei [mm] \varphi [/mm] zwischen 0 und Pi läuft. Es genügt, den Betrag des Integranden abzuschätzen und hierbei hilft, dass die komplexe e-Funktion ja betragsmäßig nie größer als 1 sin kann.
Wenn diese Abschätzung fertig ist, solltest Du nicht vergessen, den Imaginärteil deines komplexen Integrals zu bilden und hierbei sollte natürlich, da wir ja ursprünglich im Reellen waren, auch wieder was Reelles rauskommen.
Da ist also einiges zu tun, aber die Sache lässt sich ganz gut in aufeinanderfolgende Schritte gliedern.
Viel Spaß dabei wünscht
Infinit
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