uneigentliches Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mi 28.12.2005 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob es das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{e^k}^{ \infty} \bruch{ln(x)-k}{x} [/mm] dx |
Hallo Leute, einen schönen guten Morgen
also ich habe das wurde noch nie im Unterricht besprochen wie das geht mit dem Ding.
Mein Ansatz beruht nur von einem Beispiel aus nen Mathebuch, ich werde da aber nicht ganz schlau draus.
[mm] \integral_{e^k}^{ \infty} {\bruch{ln(x)-k}{x} dx}= \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{e^k}^{b} {\bruch{ln(x)-k}{x} dx}
[/mm]
so, der im Buch hat jetzt [mm] \infty [/mm] gegen das b getauscht, aber warum.
weiter würde denn so aussehen
[mm] \integral_{e^k}^{ \infty} {\bruch{ln(x)-k}{x} dx}= \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{e^k}^{b} {\bruch{ln(x)-k}{x} dx}= \limes_{b\rightarrow\infty} [\bruch{1}{2}(ln|x|)^2-k*ln|x|]_{e^k}^{b} [/mm]
= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [\bruch{1}{2}(ln|b|)^2-k*ln|b|]_{e^k}^{b} [/mm]
keine Ahnung ob das richtig ist.
Falls ja was mach ich jetzt damit?
schon mal vielen dank für die Unterstützung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo hooover!
Bei diesem sogenannten uneigentlichen Integral können wir ja nicht einfach [mm] $\infty$ [/mm] als eine der Integrationsgrenzen in die entsprechende Stammfunktion einsetzen.
Daher geht man diesen Umweg, dass man sich eine Variable als (hier obere) Integrationsgrenze definiert und anschließend eine Grenzwertbetrachtung durchführt, hier halt für [mm] $b\rightarrow\infty$ [/mm] .
Das ist eine allgemeine Vorgehensweise für uneigentlichen Integrale (Ersatzvariable definieren und Grenzwertbetrachtung).
> = [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} [\bruch{1}{2}(ln|b|)^2-k*ln|b|]_{e^k}^{b}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da hast Du die Grenzen aber nicht korrekt bzw. nur halbherzig eingesetzt:
[mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \left[\bruch{1}{2}*\ln^2|x|-k*\ln|x|\right]_{e^k}^{b} \ = \ \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\left(\bruch{1}{2}*\ln^2|b|-k*\ln|b|\right) - \left(\bruch{1}{2}*\ln^2\left|e^k\right|-k*\ln\left|e^k\right|\right)\right] \ = \ ...[/mm]
Nun noch etwas zusammenfassen und anschließend die Grenzwertbetrachtung für [mm] $b\rightarrow\infty$ [/mm] durchführen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mi 28.12.2005 | | Autor: | hooover |
Hallo Loddar!
vielen Dank
ach ich sehe gerade das die eigentliche Frage lautet:
ob das uneigentliche Integral existiert!
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\bruch{1}{2}*\ln^2|x|-k*\ln|x|\right]_{e^k}^{b} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\left(\bruch{1}{2}*\ln^2|b|-k*\ln|b|\right) - \left(\bruch{1}{2}*\ln^2\left|e^k\right|-k*\ln\left|e^k\right|\right)\right] [/mm] =
kann das machen,
wenn jede klammer durch ihren ln-Wert teile
also so,
[mm] (\bruch{1}{2}*\ln^2|b|-k*\ln|b|) [/mm] /durch ln|b|
macht
[mm] (\bruch{1}{2}*\ln|b|-k) [/mm]
das gleiche auch für die andere Klammer
also
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\bruch{1}{2}*\ln^2|x|-k*\ln|x|\right]_{e^k}^{b} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [\left(\bruch{1}{2}*\ln|b|-k\right) [/mm] - [mm] \left(\bruch{1}{2}*\ln\left|e^k\right|-k*\left\right\right)\right] [/mm]
> Nun noch etwas zusammenfassen und anschließend die
> Grenzwertbetrachtung für [mm]b\rightarrow\infty[/mm] durchführen.
alos
für b gegen [mm] \infty
[/mm]
läuft auch die erste Klammer gegen [mm] \infty
[/mm]
daraus folgt das ganze Ding gegen unendlich läuft.
Aha! also existiert das ding
ODER?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Do 29.12.2005 | | Autor: | hooover |
Hallo alle zusammen
ich das ding jetzt so vereinfacht.
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\bruch{1}{2}*\ln^2|x|-k*\ln|x|\right]_{e^k}^{b}=\limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{1}{2}ln|b|(\left(\ln|b|-2k\right) [/mm] - [mm] \left\bruch{1}{2}ln|e^k|(\ln\left|e^k\right|-2k)\right)
[/mm]
wenn ich jetzt die Grenzwertbetrachtung mache,
wird ln(b) zwar sehr gering aber stätig immer größer.
davon jetzt die die andere Klammer mit [mm] ln(e^k) [/mm] abgezogen macht irgendeinen Wert im positiven Bereich.
was sagt mir das.
achso
ich habe jetzt auch für k eins gewählt.
wenn oder wie erkennt man den ob das uneigentliche Integral nicht existiert.
Loadder sagt das es divergiert, wie soll das gehen, wenn ich zwei konkrete Werte voneinander abziehe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo hooover!
Da hast Du mich leider etwas missvertsanden ...
Zunächst vereinfachen / fassen wir den hinteren Teil etwas zusammen:
[mm]... \ = \ \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\left(\bruch{1}{2}*\ln^2|b|-k*\ln|b|\right) - \left(\bruch{1}{2}*\ln^2\left|e^k\right|-k*\ln\left|e^k\right|\right)\right][/mm]
[mm]= \ \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\left(\bruch{1}{2}*\ln^2|b|-k*\ln|b|\right) - \left(\bruch{1}{2}*k^2-k*k\right)\right][/mm]
[mm]= \ \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\left(\bruch{1}{2}*\ln^2|b|-k*\ln|b|\right) + \bruch{1}{2}*k^2\right][/mm]
[mm]= \ \bruch{1}{2}*k^2 + \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\bruch{1}{2}*\left(\ln|b|\right)^2-k*\ln|b|\right][/mm]
Und nun klammern wir [mm] $\bruch{1}{2}\ln(b)$ [/mm] aus :
[mm]= \ \bruch{1}{2}*k^2 + \limes_{b\rightarrow\infty} \left[\bruch{1}{2}*\ln|b|*\left(\ln|b|-2k\right)\right][/mm]
[mm]= \ \bruch{1}{2}*k^2 + \bruch{1}{2}*\limes_{b\rightarrow\infty} \left[\red{\ln|b|}*\blue{\left(\ln|b|-2k\right)}\right][/mm]
Nun betrachte beide Faktoren innerhalb des zu betrachtenden Grenzwertterms. Was geschieht mit diesen für [mm] $b\rightarrow\infty$ [/mm] ?
Und was kannst Du daraus für den Gesamtgrenzwert folgern?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 29.12.2005 | | Autor: | hooover |
Hallo Loddar
danke für die Schritte
sie sind sehr gut nachzuvollziehen.
jetzt wenn ich hier die Grenzwertbetrachtung mache für b [mm] \infty
[/mm]
= \ [mm] \bruch{1}{2}*k^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\limes_{b\rightarrow\infty} \left[\red{\ln|b|}*\blue{\left(\ln|b|-2k\right)}\right]
[/mm]
also
1. könnten für bestimmte Werte von k die Klammer Null werden
2. wird das Integral stetig größer aber nicht steigt nur sehr gering an
am Beispiel für k=1 und b=100 & b=1000000
= \ [mm] \bruch{1}{2}*1^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\limes_{b\rightarrow\infty} \left[\red{\ln|100|}*\blue{\left(\ln|100|-2*1\right)}\right]
[/mm]
=6,499
= \ [mm] \bruch{1}{2}*1^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\limes_{b\rightarrow\infty} \left[\red{\ln|100000|}*\blue{\left(\ln|100000|-2*1\right)}\right]
[/mm]
=82,119
also existiert das ding.
oder etwa nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 29.12.2005 | | Autor: | hooover |
Aber warum kann den kein Integral mit unendlich großen Flächeninhalt existieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo hooover!
Natürlich können auch (uneigentliche) Integrale mit unendlich großem Wert existieren.
Aber man spricht von der "Existenz von uneigentlichen Integral", wenn ein bestimmter Grenzwert angestrebt wird.
Die "Werte" [mm] $-\infty$ [/mm] bzw. [mm] $+\infty$ [/mm] sind dabei nicht als bestimmte Grenzwerte anzusehen.
Man sagt auch, dass uneigentliche Integrale konvergieren bzw. divergieren. In dem Zusammenhang meint "existieren" dasselbe wie die Konvergenz des betrachteten Integrales.
In unserem Beispiel divergiert das uneigentliche Integral (da wir als "Grenzwert" [mm] $+\infty$ [/mm] erhalten haben). Oder anders formuliert: dieses uneigentliche Integral existiert nicht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Do 29.12.2005 | | Autor: | hooover |
Vielen Dank!
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