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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Do 26.04.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | [mm] f:[0,\infty[ \to \IR [/mm] monoton fallend
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(t) dt} [/mm] existiert
Beh: [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}f(t)=0 [/mm] |
Guten Abend,
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich am knobeln bin und nicht weiter komme,da dachte ich, vielleicht kann mir hier jemand weiter helfen..
Also, meine Idee:
Beweis durch KP:
also gehe ich davon aus, es gibt eine Funktion, welche für t [mm] \to \infty [/mm] fällt, aber deren Grenzwert nicht Null ist. Das heisst die Funktion muss nach unten beschränkt sein.
Und an diesem Punkt kommt sicherlich die Information der Existenz des uneigentlichen Integrals ins Spiel, nicht? Nur hänge ich da irgendwie fest..
Ich wäre sehr froh um Tipps!!
Vielen Dank im Vorraus, Mel
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ihr habt das Integral doch wahrscheinlich als Grenzwert von Riemann-Summen eingeführt. Jetzt weißt Du, dass das Integral, was dort steht existiert.
Ich denke jetzt spontan an die notwendige Bedinung für die Konvergenz einer Reihe, nämlich, dass unter der Summe eine Nullfolge steht....
Das wär meine erste Idee....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Fr 27.04.2007 | | Autor: | lch |
Folgende Sachen kann man sich überlegen:
- kann f negativ werden? (beachte Monotonie und Existenz des Integrals)
- besitzt f einen Limes? (Monotonie, Existenz des Integrals [mm] \Rightarrow [/mm] Beschränktheit)
- kann dieser Limes größer als Null sein? (Angenommen er ist [mm] \ge \varepsilon [/mm] > 0, was kann man aussagen über f und die konstante Funktion mit dem Wert [mm] \varepsilon?)
[/mm]
Überlege dir dabei, wie der Graph der Funktion aussehen würde und die Fläche unter dem Graphen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
angenommen der Limes l>0 (analog<) . Dann gibt es für [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] x_{0}, [/mm] so dass für [mm] x>x_{0}: If-lI<\epsilon, [/mm] also f>l, dann folgt:
[mm] \integral_{x_{0}}^{y}{f(x) dx}\ge\integral_{x_{0}}^{y}{l dx}=l(y-x_{0}) [/mm] Für l nicht 0 ist das Integral also unbeschränkt. Also: l=0.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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