unendliche Primzahlmenge < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Jellal |
Mahlzeit,
habe hier ein kleines Problem, bei dem ich nicht weiter weiß.
zu zeigen: Es gibt unendlich viele Primzahlen p mit p mod 4=3
Meine Idee:
Sei P' die angenommen endliche Menge jener Primzahlen mit den Elementen [mm] p_{1},p_{2},...p_{r}.
[/mm]
Sei [mm] n:=4*p_{1}*p_{2}*...*p_{r} [/mm] -1
Mit Induktion kann ich zeigen, dass für n stets gilt:
n mod 4=3 (*)
1. Fall: n ist wieder eine Primzahl.
Mit (*) ein Widerspruch, da n nicht in P' liegt.
2. Fall: n ist keine Primzahl, hat aber mindestens einen Primteiler p [mm] \in [/mm] P', also n=pm mit m [mm] \in \IZ. [/mm]
Dann kann man es exakt wie Euklid machen bei dem Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
3. Fall: n ist keine Primzahl, hat aber nur Primteiler, die nicht in P' liegen.
Um das zu einem Widerspruch zu führen, kann ich mich nur Sachen bedienen, die noch nicht bewiesen wurden.
Ich weiß, dass für jede Primzahl p>2 gilt: p mod 4=3 oder p mod 4=1. Das heißt, jene p lassen bei Division durch 4 den Rest 1.
Dann kann man weiter zeigen, dass ein Produkt solcher Zahlen bei Division durch 4 auch wieder den Rest 1 lassen, und das wäre ein Widerspruch zu (*).
Kann ich im dritten Fall irgendwie einfacher argumentieren, ohne dass ich manuell der Vorlesung vorgreifen muss?
Beste Grüße
Jellal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Jellal,
das geht noch viel einfacher, ungefähr so wie Euklids Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen gibt:
> habe hier ein kleines Problem, bei dem ich nicht weiter
> weiß.
>
> zu zeigen: Es gibt unendlich viele Primzahlen p mit p mod
> 4=3
>
> Meine Idee:
> Sei P' die angenommen endliche Menge jener Primzahlen mit
> den Elementen [mm]p_{1},p_{2},...p_{r}.[/mm]
> Sei [mm]n:=4*p_{1}*p_{2}*...*p_{r}[/mm] -1
Das wird kompliziert, wenn ich nicht irre.
Fang doch mal mit [mm] n:=2+\produkt_{p_i\in IP'}p_i^2 [/mm] an.
Oder mit [mm] n:=-2+\cdots
[/mm]
Grüße
reverend
> Mit Induktion kann ich zeigen, dass für n stets gilt:
> n mod 4=3 (*)
>
> 1. Fall: n ist wieder eine Primzahl.
> Mit (*) ein Widerspruch, da n nicht in P' liegt.
>
> 2. Fall: n ist keine Primzahl, hat aber mindestens einen
> Primteiler p [mm]\in[/mm] P', also n=pm mit m [mm]\in \IZ.[/mm]
> Dann kann man es exakt wie Euklid machen bei dem Beweis,
> dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
>
> 3. Fall: n ist keine Primzahl, hat aber nur Primteiler, die
> nicht in P' liegen.
>
> Um das zu einem Widerspruch zu führen, kann ich mich nur
> Sachen bedienen, die noch nicht bewiesen wurden.
> Ich weiß, dass für jede Primzahl p>2 gilt: p mod 4=3
> oder p mod 4=1. Das heißt, jene p lassen bei Division
> durch 4 den Rest 1.
> Dann kann man weiter zeigen, dass ein Produkt solcher
> Zahlen bei Division durch 4 auch wieder den Rest 1 lassen,
> und das wäre ein Widerspruch zu (*).
>
> Kann ich im dritten Fall irgendwie einfacher argumentieren,
> ohne dass ich manuell der Vorlesung vorgreifen muss?
>
>
> Beste Grüße
>
> Jellal
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Jellal |
Hi Reverend,
dass es ungefähr so geht wie bei Euklid, denke ich mir, aber bei der Übung stand auch dabei, dass ich den Ansatz
n=4 [mm] \produkt_{i=1}^{r}p_{i} [/mm] -1 benutzen sollte.
Auch bei Deinem Ansatz ist mir nicht klar, wie das funktionieren soll.
Euklid hat alle Primzahlen miteinander multipliziert und 1 addiert. Das Ergebnis war folglich keine Primzahl, aber eine natürliche Zahl, die wiederum mindestens einen Primteiler haben muss. Aber keine Zahl aus seiner Primzahlmenge konnte die Zahl teilen (da sie ja alle als Faktor im ersten Summand drin steckten, jedoch nicht im zweiten, der 1), also musste es zwangsweise eine weitere Primzahl geben --> Widerspruch.
Hier funktioniert das doch aber nicht.
Jede Zahl, die ich mit [mm] \produkt_{i=1}^{r}p_{i} [/mm] bilde hat als natürliche Zahl einen Primteiler. Aber niemand sagt, dass dieser Primteiler auch in P' liegt, er kann ja auch eine andere Primzahl sein, und dann würde es doch nicht funktionieren, oder?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ich hatte Tomaten auf den Augen. Der vorgegebene Ansatz leistet genau das gleiche wie meiner, und ab da ist es Geschmackssache, ob man einen von beiden nun eleganter findet oder nicht. Wurscht.
> Hi Reverend,
>
> dass es ungefähr so geht wie bei Euklid, denke ich mir,
> aber bei der Übung stand auch dabei, dass ich den Ansatz
>
> n=4 [mm]\produkt_{i=1}^{r}p_{i}[/mm] -1 benutzen sollte.
>
> Auch bei Deinem Ansatz ist mir nicht klar, wie das
> funktionieren soll.
>
> Euklid hat alle Primzahlen miteinander multipliziert und 1
> addiert. Das Ergebnis war folglich keine Primzahl, aber
> eine natürliche Zahl, die wiederum mindestens einen
> Primteiler haben muss. Aber keine Zahl aus seiner
> Primzahlmenge konnte die Zahl teilen (da sie ja alle als
> Faktor im ersten Summand drin steckten, jedoch nicht im
> zweiten, der 1), also musste es zwangsweise eine weitere
> Primzahl geben --> Widerspruch.
Ja, genau. So ging das.
> Hier funktioniert das doch aber nicht.
Doch, mit einem einzigen Zusatz.
> Jede Zahl, die ich mit [mm]\produkt_{i=1}^{r}p_{i}[/mm] bilde hat
> als natürliche Zahl einen Primteiler.
Klar hat jede natürliche Zahl eindeutige Primteiler, und also mindestens einen. Hauptsatz...
Aber hier geht es nicht um "irgendeine" Zahl, die unter Zuhilfenahme des obigen Produktes gebildet wird, sondern die beiden vorgeschlagenen "n" - Deins und meins.
> Aber niemand sagt,
> dass dieser Primteiler auch in P' liegt, er kann ja auch
> eine andere Primzahl sein, und dann würde es doch nicht
> funktionieren, oder?
Das ist der Zusatz zu Euklid, der hier nötig ist.
Für beide Ansätze gilt doch, dass [mm] n\equiv 3\mod{4} [/mm] ist. Also kann $n$ nicht nur Primteiler der Form [mm] p_j\equiv 1\mod{4} [/mm] haben. Mindestens einer seiner Primteiler hat also die Form [mm] p_j\equiv 3\mod{4}. [/mm] Dieser ist aber nicht in P' enthalten.
Fertig.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Jellal |
Hallo Reverend,
ich habs verstanden, danke Dir.
Im Grunde genommen ist das die Kurzform von dem Umweg, den ich gegangen bin mit der Fallunterscheidung.
Gute Nacht!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Jellal |
Hallo nochmal,
ich habe festgestellt, dass man die Sachen, die ich im dritten Fall brauche, recht einfach herleiten kann.
Auch, wenn mein Beweis vielleicht umständlicher ist, als er sein müsste, wäre es nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob man es so machen kann, wie ich oben beschrieben habe :)
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Jellal,
> ich habe festgestellt, dass man die Sachen, die ich im
> dritten Fall brauche, recht einfach herleiten kann.
>
> Auch, wenn mein Beweis vielleicht umständlicher ist, als
> er sein müsste, wäre es nett, wenn mir jemand sagen
> könnte, ob man es so machen kann, wie ich oben beschrieben
> habe :)
Das hast Du inzwischen selbst herausgefunden: man kann.
Grüße
reverend
|
|
|
|
