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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Sa 09.06.2012 | | Autor: | drossel |
Hi, ich kriege es nicht hin, die Ungleichung zu zeigen,würde mich über Hilfe freuen!
Zu zg. [mm] a^p+b^p\le(a^2+b^2)^{\frac{p}{2}} [/mm] für [mm] 2\le p<\infty [/mm] a und b nicht negativ reell
ich hab angefangen mit [mm] (a^p+b^p)^2=a^{2p}+2a^pb^p+b^{2p}\le (a^2+b^2)^p=\summe_{k=0}^{p}{p \choose k}a^{2p-2k}b^{2k}=a^{2p}+pa^{2p-2}b^2+\frac{p(p-1)}{2}a^{2p-4}b^4+\frac{p(p-1)(p-2)}{6}a^{2p-6}b^6+...+b^{2p}
[/mm]
auf beiden Seiten der Ungleichung taucht [mm] a^{2p} [/mm] und [mm] b^{2p} [/mm] auf, aber wie zeige ich das der Rest gilt? Oder ist das so falsch? Also ich habe dann noch übrig [mm] 2a^pb^p \le{p \choose 1}a^{2p-2}b^{2}+{p \choose 2}a^{2p-4}b^{4}+...{p \choose p-1}a^{-2}b^{2p-2}=pa^{2p-2}b^2+...+pa^{-2}b^{2p-2} [/mm] (hier hat man auch wieder ein [mm] a^{2p} [/mm] und [mm] b^{2p} [/mm] drinstecken.. usw. Also habe etwas gerechnet und auch mal Zahlen für p eingesetzt, aber irgentwie stecke ich da fest.
Gruß
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Hallo drossel,
das ist doch alles gar nicht so schlecht.
> Hi, ich kriege es nicht hin, die Ungleichung zu
> zeigen,würde mich über Hilfe freuen!
> Zu zg. [mm]a^p+b^p\le(a^2+b^2)^{\frac{p}{2}}[/mm] für [mm]2\le p<\infty[/mm]
> a und b nicht negativ reell
Schön, und wie ist es mit p? Muss das wirklich eine natürliche Zahl sein? Die Ungleichung gilt auch sonst, ist aber schwerer zu zeigen.
> ich hab angefangen mit
> [mm](a^p+b^p)^2=a^{2p}+2a^pb^p+b^{2p}\le (a^2+b^2)^p=\summe_{k=0}^{p}{p \choose k}a^{2p-2k}b^{2k}=a^{2p}+pa^{2p-2}b^2+\frac{p(p-1)}{2}a^{2p-4}b^4+\frac{p(p-1)(p-2)}{6}a^{2p-6}b^6+...+b^{2p}[/mm]
>
> auf beiden Seiten der Ungleichung taucht [mm]a^{2p}[/mm] und [mm]b^{2p}[/mm]
> auf, aber wie zeige ich das der Rest gilt? Oder ist das so
> falsch? Also ich habe dann noch übrig [mm]2a^pb^p \le{p \choose 1}a^{2p-2}b^{2}+{p \choose 2}a^{2p-4}b^{4}+...{p \choose p-1}a^{-2}b^{2p-2}=pa^{2p-2}b^2+...+pa^{-2}b^{2p-2}[/mm]
> (hier hat man auch wieder ein [mm]a^{2p}[/mm] und [mm]b^{2p}[/mm]
> drinstecken.. usw. Also habe etwas gerechnet und auch mal
> Zahlen für p eingesetzt, aber irgentwie stecke ich da
> fest.
(nebenbei: irgendwie, mit d) 
Für gerade p gibt es doch sogar einen Summanden mit [mm] a^{p}b^{p}. [/mm] Da ist es leicht.
Für ungerade p kannst Du aber auch zeigen, dass [mm] 2a^{p}b^{p}\le \vektor{p\\ \bruch{1}{2}(p-1)}a^{p+1}b^{p-1}+\vektor{p\\ \bruch{1}{2}(p+1)}a^{p-1}b^{p+1}.
[/mm]
Wenn Du das zeigen kannst, kannst Du alle anderen Summanden vergessen. Sie werden ja nie negativ.
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:22 So 10.06.2012 | | Autor: | drossel |
Hi, danke für deine Antwort =)
> Schön, und wie ist es mit p? Muss das wirklich eine
> natürliche Zahl sein? Die Ungleichung gilt auch sonst, ist
> aber schwerer zu zeigen.
Achso, ich denke hier braucht man es nur für p natürliche Zahl zu zeigen.
>
> (nebenbei: irgendwie, mit d)
Ups :D Jetzt weiss ich bescheid.
>
> Für gerade p gibt es doch sogar einen Summanden mit
> [mm]a^{p}b^{p}.[/mm] Da ist es leicht.
> Für ungerade p kannst Du aber auch zeigen, dass
> [mm]2a^{p}b^{p}\le \vektor{p\\ \bruch{1}{2}(p-1)}a^{p+1}b^{p-1}+\vektor{p\\ \bruch{1}{2}(p+1)}a^{p-1}b^{p+1}.[/mm]
Achso, gilt das jetzt nur für ungerade p? Oder kann ich da jetzt p=2t+1 mit [mm] t\in \IN [/mm] einsetzen? Dann hätte ich raus
[mm] 2a^{2t+1}b^{2t+1}\le (\frac{(2t+1)(2t)!}{(t+1)!t!})(a^{2t+2}b^{2t}+a^{2t}b^{2t+2}) [/mm]
> Wenn Du das zeigen kannst, kannst Du alle anderen Summanden
> vergessen. Sie werden ja nie negativ.
Ich habs inzwischen anders (ich poste es dazu), trotzdem
wäre es super, wenn der obige Weg noch geklärt wird.
Anders: [mm] a^p+b^p\le(a^2+b^2)^{\frac{p}{2}} [/mm] für [mm] 2\le p<\infty [/mm] und a und b nicht negativ reell
für a>b (sonst das ganze andersrum) und p>2
[mm] a^p+b^p\le(a^2+b^2)^{\frac{p}{2}} [/mm]
[mm] a^p(1+\frac{b^p}{a^p})\le (a^2(1+\frac{b^2}{a^2})^{\frac{p}{2}} [/mm]
[mm] a^p(1+(\frac{b}{a})^p)\le (a^2(1+(\frac{b}{a})^2)^{\frac{p}{2}} [/mm]
[mm] a^p(1+(\frac{b}{a})^p)\le a^p(1+(\frac{b}{a})^2)^{\frac{p}{2}} [/mm]
kommt ja auf beiden Seiten ein [mm] a^p [/mm] vor , also
[mm] (1+(\frac{b}{a})^p)\le (1+(\frac{b}{a})^2)^{\frac{p}{2}} [/mm]
setze [mm] t=\frac{b}{a} [/mm] , t<1 denn a>b. Also
[mm] (1+t^p)\le (1+t^2)^{\frac{p}{2}} [/mm] und wenn p>2 und t<1 ist [mm] t^p
daher auch [mm] (1+t^p)\le (1+t^2)^{\frac{p}{2}} [/mm]
Und für a=b, [mm] 2\le p<\infty 2a^p\le 2a^p [/mm] und
p=2 [mm] a^2+b^2\le a^2+b^2.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 12.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
> Zu zg. [mm]a^p+b^p\le(a^2+b^2)^{\frac{p}{2}}[/mm] für [mm]2\le p<\infty[/mm] a und b nicht negativ reell
Ohne Einschränkung gelte nicht a=b=0 (sonst ist die Aussagte sowieso klar).
Dann schreibe die Ungleichung um zu
[mm] \left(\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)^{p/2}+\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}\right)^{p/2}\le1.
[/mm]
Verwende nun [mm] p\ge2, [/mm] damit siehst Du die Ungleichung leicht.
LG
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