unitär diagonalisierbar < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Sa 01.07.2006 | | Autor: | still86 |
| Aufgabe | Eine Matrix [mm] A\in C^{n×n} [/mm] heißt unitär diagonalisierbar, wenn es eine unitäre Matrix [mm] U\in C^{n×n} [/mm] gibt mit
[mm] U^{\*}AU [/mm] = D,
wobei D eine Diagonalmatrix ist.
Zeigen Sie: Ist A [mm] \in C^{n×n} [/mm] unitär diagonalisierbar, so gilt:
[mm] A^{\*}A [/mm] = [mm] AA^{\*}. [/mm] |
Hallo, kann mir vielleicht jemand bei der Aufgabe helfen? Wie soll ich denn hier anfangen? Der Groschen ist leider noch nicht gefallen.
Danke. Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Fulla |
hi still86!
nach def. gibt es ja [mm] U^{\*},U [/mm] mit [mm] U^{\*}AU=D [/mm] ... das heißt doch auch, dass [mm] A=UDU^{\*}
[/mm]
genauso folgt [mm] A^{\*}=UD^{\*}U^{\*}
[/mm]
benutze:
[mm] UU^{\*}=U^{\*}U=1 [/mm] (einheitsmatrix) [weil für unitäre matrizen [mm] U^{\*}=U^{-1} [/mm] gilt] und
[mm] D=D^{\*} [/mm] [D ist ja diagonalmatrix] also gilt insbesondere [mm] DD^{\*}=D^{\*}D
[/mm]
so solltest du recht leicht zur lösung kommen...
lieben gruß,
Fulla
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