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Forum "Algebra" - universelle Eigenschaft
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universelle Eigenschaft: beweis nicht klar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:25 Di 16.08.2011
Autor: lukas10000

Aufgabe
[mm] f_1:UxV [/mm] -> [mm] X_1 [/mm] und [mm] f_2:UxV [/mm] -> [mm] X_2 [/mm] haben die univ. Eigenschaft.

Zeigen sie die Eindeutigkeit des Tensorproduktes, indem es einen Isomorpgismus g: [mm] X_1 [/mm] -> [mm] X_2 [/mm] gibt.


Auf Grund er u.E. folgt, dass es

[mm] g_1: X_1 [/mm] -> [mm] X_2 [/mm] und [mm] g_2: X_2 [/mm] -> [mm] X_1 [/mm] gibt

dann ist [mm] g_1 \circ g_2 \circ f_2 [/mm] = [mm] f_2 [/mm] und [mm] g_2 \circ g_1 \circ f_1 [/mm] = [mm] f_1 [/mm]

Also [mm] g_1 \circ g_2 [/mm] = [mm] id_(im_f_2) [/mm] und [mm] g_2 \circ g_1 [/mm] = [mm] id_(im_f_1) [/mm]

Wie sehe ich nun, dass g := [mm] g_1 [/mm] ein isomorphismus ist? Als begründung wird angegeben, dass [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] zueinander inverse Isomorphismen sind, was ist nicht sehe.

        
Bezug
universelle Eigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Di 16.08.2011
Autor: statler

Guten Morgen!

> [mm]f_1:UxV[/mm] -> [mm]X_1[/mm] und [mm]f_2:UxV[/mm] -> [mm]X_2[/mm] haben die univ.
> Eigenschaft.
>  
> Zeigen sie die Eindeutigkeit des Tensorproduktes, indem es
> einen Isomorpgismus g: [mm]X_1[/mm] -> [mm]X_2[/mm] gibt.
>  
> Auf Grund er u.E. folgt, dass es
>  
> [mm]g_1: X_1[/mm] -> [mm]X_2[/mm] und [mm]g_2: X_2[/mm] -> [mm]X_1[/mm] gibt
>  
> dann ist [mm]g_1 \circ g_2 \circ f_2[/mm] = [mm]f_2[/mm] und [mm]g_2 \circ g_1 \circ f_1[/mm]
> = [mm]f_1[/mm]
>  
> Also [mm]g_1 \circ g_2[/mm] = [mm]id_(im_f_2)[/mm] und [mm]g_2 \circ g_1[/mm] =
> [mm]id_(im_f_1)[/mm]
>  
> Wie sehe ich nun, dass g := [mm]g_1[/mm] ein isomorphismus ist? Als
> begründung wird angegeben, dass [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] zueinander
> inverse Isomorphismen sind, was ist nicht sehe.

Wenn [mm] \alpha \circ \beta [/mm] injektiv ist, dann ist [mm] \beta [/mm] injektiv, und wenn [mm] \alpha \circ \beta [/mm] surjektiv ist, dann ist [mm] \alpha [/mm] surjektiv. Das ist relativ leicht zu beweisen, und daraus folgt dann alles.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

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