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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Fr 23.09.2005 | | Autor: | ZooYork |
Hallo!
Also ich sitze jetzt schon seit 2 Stunden an einer Zahlenfolge, die ich einem Forum gefunden habe, die dort nicht gelöst wurde. Aufgabe ist es die explizite Bildungsvorschrift folgender Folgeglieder zu finden:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \{3; 33; 333; 3333; 33333; ... \}
[/mm]
Ich hab mir schon echt den Kopf dran zerbrochen und würde mich freuen, wenn mich jemand erlösen könnte.
Mfg Basti
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Hallo Basti,
> Also ich sitze jetzt schon seit 2 Stunden an einer
> Zahlenfolge, die ich einem Forum gefunden habe, die dort
> nicht gelöst wurde. Aufgabe ist es die explizite
> Bildungsvorschrift folgender Folgeglieder zu finden:
>
> [mm]a_n = \left(3; 33; 333; 3333; 33333; \dotsc \right)[/mm]
Wir schreiben uns die Zahlen erstmal anders auf:
[mm] $3*10^0$
[/mm]
[mm] $3*10^1 [/mm] + [mm] 3*10^0$
[/mm]
[mm] $3*10^2 [/mm] + [mm] 3*10^1 [/mm] + [mm] 3*10^0$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
Hallo Daniel!
Du hast Recht! Wenn ich n = 0 setze, kommt bei der Summe 1 raus, während bei der Formel 0 rauskommt. Der Fehler müßte behoben sein, wenn ich die Summationsgrenze verringere:
[mm] $\left(a_n\right) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{{\color{blue}n-1}} {3*10^i} [/mm] = [mm] 3\sum_{i=0}^{{\color{blue}n-1}} {10^i} \mathop [/mm] = [mm] ^{\begin{array}{c}\text{Summenregel für} & \text{geometrische Reihen}\end{array}} 3\frac{10^n-1}{10-1} [/mm] = [mm] \frac{10^n-1}{3}$
[/mm]
Und das ist unsere gesuchte Formel für [mm] $a_n$. [/mm] Jetzt wo man die Formel aber kennt, erkennt man noch eine andere einfachere Argumentation, die zu dieser Formel führt: Im dekadischen Zahlensystem gilt doch immer
$10 - 1 = 9, [mm] 10^2 [/mm] - 1 = 99, [mm] 10^3 [/mm] - 1 = [mm] 999,\dotsc$
[/mm]
Na ja, und wenn man solche Zahlen durch 3 teilt.... 
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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Hallo Karl,
gute Antwort, allerdings mit einem winzigen Fehler (hab ich nicht extra auf "falsch" gestellt): Es ist
[mm] \summe_{i=0}^{n} 10^{i} = \bruch{10^{\red{n+1}}-1}{10-1}[/mm]
Dann ist sowohl links (also vor der Umformung) als auch rechts [mm]a_0=3[/mm].
mfg
Daniel
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