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also ich hab keine aufgabe ich wollte nur genau wissen ob mir jemand den unterschied zwischen einer Kombination und einer Variation erläutern kann. also ich weiß, dass bei einer variation die reihenfolge wichtig ist und bei der kombination eben nicht, aber das is das was ich nicht verstehe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 So 08.01.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Wie du richtig bemerkt hast, ist bei einer Variation die Reihenfolge der Stichprobe von Bedeutung während sie bei einer Kombination unwichtig ist.
Aus dieser Vorgabe ergeben sich in der Kombinatorik für Variationen [mm] \underline{mehr} [/mm] Möglichkeiten als bei Kombinationen.
Dazu zwei Beispiele ohne Wiederholungen:
[mm] \underline{Beispiel 1}
[/mm]
Es sei gefordert, aus 2 Kugeln (welche mit 1 und zwei nummeriert sind)2 Kugeln zu ziehen.
Für eine Kombination ergibt sich hier nur eine Möglichkeit, nämlich schlicht die zwei Kugeln zu ziehen.
Bei einer Variation hat man zwei Möglichkeiten, nämlich zuerst die Kugel mit der 1 und dann die Kugel mit der zwei oder umgekehrt zu ziehen.
[mm] \underline{Beispiel 2}
[/mm]
Die Ziehung der Lottozahlen. Wie du sicher weißt, errechnet sich die Zahl aller Möglichkeiten 6 aus 49 Zahlen anzukreuzen zu [mm] \vektor{49 \\ 6}=13983816. [/mm] Diese Berechnung schließt eine Reihenfolge der Zahlen aus (Da beim Lotto ja nur gefordert wird, alle gezogenen Zahlen ausgewählt zu haben). Beim Lotto-Spiel handelt es sich also um eine Kombination (Bemerkung: Ohne Wiederholung).
Würde die Reihenfolge der Zahlen zusätzlich mitberücksichtigt werden, wäre die Zahl aller Möglichkeiten 6 aus 49 Zahlen in gezogener Reihenfolge anzukreuzen zu berechnen über [mm] \bruch{n!}{(n-k)!}= \bruch{49!}{(49-6)!}=10068347520. [/mm] Dies wäre eine Variation (Bemerkung: Ohne Wiederholung).
Wie du siehst ist die Zahl der Variationen größer als die der Kombinationen. Als Konsequenz für die Wahrscheinlichkeitstheorie ergibt sich die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu landen bei Kombinationen höher ist als bei Variationen.
Auch im allgemeinen Formelwerk für Kombination und Variation ohne Wiederholung ist dies zu erkennen:
Kombination ohne W.: [mm] \vektor{n \\ k}= \bruch{n!}{(n-k)!k!}
[/mm]
während
Variation ohne W.: [mm] \bruch{n!}{(n-k)!}
[/mm]
D.h. bei einer Kombination wird zusätzlich durch k! dividiert, was bedeutet, dass möglichen Anordnungen der k Objekte nicht berücksichtigt werden.
Alles klar soweit? 
Viel Spaß beim Drübernachdenken!
Lg, Kübi
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Lass uns wetten:
Angenommen, wir wetten auf Pferde, und zwar eine Dreierwette. Dabei bestimmen wir, welche der zwölf Pferde die ersten Drei Plätze belegen.
Dafür fragen wir, wieviele Pferde könnten auf dem ersten Platz sein: 12, bleiben 11, wieviele Pferde könnten auf dem zweiten Platz sein: 11, bleiben 10, wieviele Pferde könnten auf dem dritten Platz sein: 10. Also gibt es 12*11*10 Möglichkeiten der Platzierungen - Variationen.
Nun ändern wir die Bedingungen: Uns interessiert nur, welche Pferde unter den ersten drei sind, nicht, welche Platzierung sie haben. Wieder verteilen wir wie oben, aber diesmal müssen wir bedenken, dass abc=acb=bca usw. ist, davon gibt es 3! Möglichkeiten (Permutationen), dividieren wir die obigen Variationen durch die Anzahl der Permutionen innerhalb der Platzierten, ergibt sich die Anzahl der Kombinationen: will heißen [mm] \bruch{12*11*10}{3!} [/mm] oder [mm] \bruch{12!}{3!*9!}= \vektor{12 \\ 3}=\bruch{12*11*10}{1*2*3}
[/mm]
Ich hoffe, dieses Beispiel erleichtert das Verständnis.
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