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Hallo zusammen!
Ich steh mal wieder vor einem mathematischem Problem!
Ich soll zeigen das der Varianzschätzer s²:= [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] ( [mm] x_{i}- x_{n})² [/mm] erwatrungstreu ist bzw. es eben nicht ist!
dazu hab ich folgenden Ansatz gemacht:
E(s²)= E( [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] ( [mm] x_{i}- x_{n})² [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} E(x_{i}- x_{n})²
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} E(x_{i}- [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}))²
[/mm]
und hier weiß ich nicht weiter! Ich weiß das das ergebnis [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] s² sein muß!
weiß aber nicht wie ich weite umformen kann, so das ich darauf komme!
hat einer von euch eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo!
Ich dank dir zwar für die schnelle antwort, aber ich kann deiner argumentation noch nicht so ganz folgen!
wie kommst du von meinem ansatz auf die varianz? ist der mittelwert= dem erwartungswert von [mm] x_{i}?
[/mm]
außerdem versteh ich dann nicht wie d die varianz auflöst und wo in deinem vorletzten schritt die summe plötzlich abgeblieben ist!
sind villeicht alles dumme fragen, aber was nützt es mir wenn ich die lösung nicht verstehe! wahrscheinlich bin ich gerade an diesen punktn selber gescheitert,weil ich das eben nicht verstanden habe!
gruß
und kommt mir gut ins wochenende!
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Hallo!
> wie kommst du von meinem ansatz auf die varianz? ist der
> mittelwert= dem erwartungswert von [mm]x_{i}?[/mm]
Nein. Aber es gilt doch
[mm] $E\left(X_i-\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n X_j\right)=E(X_i)-\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n E(X_j)=E(X_1)-\frac{1}{n}\cdot \,n\cdot E(X_1)=0$
[/mm]
und wegen [mm] $Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2$ [/mm] (ganz allgemein) wird aus
[mm] $E\left(\left(X_i-\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n X_j\right)^2\right)$
[/mm]
eben
[mm] $Var\left(X_i-\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n X_j\right).$
[/mm]
> außerdem versteh ich dann nicht wie d die varianz auflöst
Du brauchst hier
[mm] $Var(a_1X_1+\ldots+a_nX_n)=a_1^2Var(X_1)+\ldots+a_n^2Var(X_n)=\sum\limits_{j=1}^n a_j^2\sigma^2$
[/mm]
mit unabhängigen Zufallsvariablen [mm] $X_1,\ldots,X_n$. [/mm] In unserem Fall ist
[mm] $a_j=\left\{\begin{array}{cl}1-\frac{1}{n}&\mbox{falls } j=i,\\
-\frac{1}{n}&\mbox{sonst.} \end{array}\right.$ [/mm]
> und wo in deinem vorletzten schritt die summe plötzlich
> abgeblieben ist!
Die Summanden hängen ja nicht mehr vom Index ab, d.h. hier wird n Mal dieselbe Konstante aufsummiert. Durch den Vorfaktor 1/n kürzt sich dieses n aber wieder weg.
Viele Grüße
Brigitte
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