vektorielles Wegelement < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:28 Mo 11.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich würde gerne wissen wie man auf das vektorielle Wegelement in Kugelkoordinaten kommt! Ich weiss das die Kugelkoordinatenumrechnung ins Kartesische so aussieht:
x = r*sin(a)*cos(b)
y = r*sin(a)*sin(b)
z = r*cos(a)
Ich weiss nicht ob das bei der Herleitung des Wegelements hilft...?
Aber das hier soll jedenfalls rauskommen:
[mm] d\vec{r} [/mm] = [mm] \vec{e_{r}}*dr [/mm] + [mm] \vec{e_{a}} [/mm] * r * da + [mm] \vec{e_{b}} [/mm] * r * sin(a) db
,wobei a und b die Winkel sind und "da" bzw. "db" die infinit kleinen Winkel...
Mit irgendwie ableiten kommt man ja wohl nicht auf das oder?
Wäre dankbar...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mi 13.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Wie kommt man denn jetzt darauf? Es steht auf Wikipedia man müsse das
totale differential des Ortsvektors bilden.
Ich kapiere aber nicht wie das geht.
Danke...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 13.01.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo qsxqsx,
ein unangenehmes Gebiet diese Koordinatentransformationen!
Wikipedia hat Recht mit seinem "totalen Differential des Ortsvektors", versuchen wir erstmal zu verstehen was da gemeint ist.
Das totale Differential einer Funktion f(x,y,z) (ich beschränke mich auf 3 Variable) ist durch df = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}dx [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}dy [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial z}dz, [/mm] wobei die Bezeichnungen df, dx, dy, dz erst im Rahmen des Kalküls der alternierenden Differentialformen mathematisch exakt definiert werden; bis dahin behilft man sich mit "infinitesimal kleinen Größen" ... (siehe dazu auch das Kapitel über t. D. bei Wikipedia). Soweit so gut.
Die Koordinatentransformationen, hier auf Kugelkoordinaten, lassen sich als Funktionen x(r,a,b), y(r,a,b) und z(r,a,b) (ich bleibe bei Deiner Bezeichnungsweise) der alten Koordinaten in Abhängigkeit von den neuen Koordinaten verstehen oder in vektorieller Schreibweise [mm] \vec{r} [/mm] (r,a,b) = [mm] \vektor{x(r,a,b) \\ y(r,a,b) \\ z(r,a,b)}.
[/mm]
Dabei ist [mm] \vec{r} [/mm] der oben erwähnte Ortsvektor (während r seine Länge darstellt, was ja gerade die erste neue Polarkoordinate ist).
So, und nun rechnet man für die 3 Funktionen x(r,a,b), y(..) und z(..) jeweils das totale Differential aus.
Hier mal für x:
x(r,a,b) = r sin(a) cos(b) also
dx = sin(a) cos(b) dr + r cos(a) cos(b) da - r sin(a) sin(b) db
Entsprechend für y und z.
Wenn man das Ganze nun wieder vektoriell schreibt, so erhält man:
[mm] d\vec{r} [/mm] = [mm] \vec{e_{r}} [/mm] dr + [mm] \vec{e_{a}} [/mm] r da + [mm] \vec{e_{b}} [/mm] r sin(a) db
wenn [mm] \vec{e_{r}}, \vec{e_{a}} [/mm] und [mm] \vec{e_{b}} [/mm] die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten sind. Über das Aussehen der Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten werde ich mich hier nicht auslassen (siehe dazu "Kugelkoordinaten" in Wikipedia).
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Mi 13.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Jaja, die Kugelkoordinaten ansich versteh ich schon bezüglich Richtung des
Wegelements...schliesslich muss ich jeden Tag magnetische Felder in symetrischen und weniger symetrischen Koaxialkabeln berechnen...
Aber hab mich immer gefragt wieso dieses Wegelemnt so ist wies aussieht...ist ziemlich theoretisch mit diesen infiniten Wegen und Winkeln!
Danke vielmals! Zum glück gab es doch noch jemanden der das versteht...; )
(...es könnte noch jemand die zweite Frage auf "beantwortet" setzen...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mi 13.01.2010 | | Autor: | uliweil |
Nichts leichter als das.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 13.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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