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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Sanne84 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
sitze nun schon seit Studen an dieser Aufgabe... irgendwie weiß ich aber nicht mehr weiter. Mir fehlt eine Regel, mit der ich den Ausdruck weiter vereinfachen kann. Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Liebe Grüße
Sanne
Seien n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] , .... [mm] a_{n} [/mm] , [mm] b_{1} [/mm] , ...., [mm] b_{n} \in \IR
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\le(\summe_{k=1}^{n}a_{k}^{2})^{1/2}(\summe_{k=1}^{n}b_{k}^{2})^{1/2}
[/mm]
Habe dann fir Formel für n=1 bewiesen und hänge bei dem Beweis für n-> n+1
[mm] (\summe_{k=1}^{n+1} a_{k} b_{k} [/mm] )= [mm] (\summe_{k=1}^{n} a_{k} b_{k})+ (a_{n+1} b_{n+1})
[/mm]
= [mm] ((\summe_{k=1}^{n}a_{k}^{2})(\summe_{k=1}^{n}b_{k}^{2}))^{1/2} [/mm] + [mm] ((a_{n+1}b_{n+1})^{2})^{1/2}
[/mm]
[mm] =(\summe_{k=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2} [/mm] + [mm] (a_{n+1}b_{n+1})^{2}))^{1/2}
[/mm]
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:19 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Sonne!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> $ [mm] =(\summe_{k=1}^{n} \summe_{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2} [/mm] $ + $ [mm] (a_{n+1}b_{n+1})^{2}))^{1/2} [/mm] $
Hier machst du einen Rechenfehler. Du darfst die beiden Wurzel nicht einfach zusammenfassen, das entspricht keinem der Wurzelgesetze.
Ich kenne den Beweis für diese Ungleichung (sie nennt sich auch die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) lediglich ohne vollständige Induktion, habe mir aber mal ein paar Gedanken zur Induktion gemacht. Ich schreib' sie hier einfach mal auf in der Hoffnung, dass es nicht viel zu umstänmdlich ist und es (mit Induktion) einfacher geht. Vorher aber noch eine Frage: sollst du die Aufgabe mit Induktion lösen? Der Beweis ohne diese ist nämlich recht einfach.
Nun meine Idee:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}{a_k\cdot b_k}=\summe_{k=1}^{n}{a_k\cdot b_k}+a_{n+1}\cdot b_{n+1}\leq\left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n}{b_k^2} \right)^{\frac{1}{2}}+a_{n+1}\cdot b_{n+1}=\left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n}{b_k^2} \right)^{\frac{1}{2}}+\left( a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2\right) ^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
Nun kann ich für beide Summanden auf der rechten Seite die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel anwenden und erhalte:
[mm] $\leq \frac{\summe_{k=1}^{n}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}}{2}+\frac{a_{n+1}^2+b_{n+1}^2}{2}=\frac{\summe_{k=1}^{n+1}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}}{2}$
[/mm]
-- SCHNITT --
So, nun wird es kritisch: der letzte Bruch stellt wieder ein arithmetisches Mittel dar. Es kann nun wieder über die Ungleichung zwischen Arithmetischem und geometrischem Mittel in letzteres umgewandelt werden, welches zur Lösung des Problemes führte. Problem ist nur, dass das arithmetische Mittel größer gleich dem geometrischen ist. Wir müssen also zeigen, dass das, was wir durch das doppelte Umwandeln in das geometrische Mittel zu beginn gewonnen haben, größer als das ist, was wir durch das jetzige Umwandeln in das geometrische Mittel wieder verlieren.
Der erste "Gewinn" ist [mm] $\frac{\summe_{k=1}^{n}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}}{2}-\left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot \summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\right) ^{\frac{1}{2}}$, [/mm] der zweite [mm] $\frac{a_{n+1}^2+b_{n+1}^2}{2}-\left( a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2 \right)^{\frac{1}{2}}$. [/mm] Das, was wir am Ende verlieren, beträgt [mm] $\frac{\summe_{k=1}^ {n+1}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}}{2}-\left( \summe_{k=1}^{n+1}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}\right)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
Zusammen ergibt sich also die zu beweisende Ungleichung
[mm] $\frac{\summe_{k=1}^{n}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}}{2}-\left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot \summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\right) ^{\frac{1}{2}}+\frac{a_{n+1}^2+b_{n+1}^2}{2}-\left( a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2 \right)^{\frac{1}{2}}\geq \frac{\summe_{k=1}^ {n+1}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}}{2}-\left( \summe_{k=1}^{n+1}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}\right)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{\summe_{k=1}^{n+1}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}}{2}-\left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot \summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\right) ^{\frac{1}{2}}-\left( a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2 \right)^{\frac{1}{2}}\geq \frac{\summe_{k=1}^ {n+1}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}}{2}-\left( \summe_{k=1}^{n+1}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}\right)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $\gdw -\left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot \summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\right) ^{\frac{1}{2}}-\left( a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2 \right)^{\frac{1}{2}}\geq -\left( \summe_{k=1}^{n+1}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}\right)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $\gdw \left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot \summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\right) ^{\frac{1}{2}}+\left( a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2 \right)^{\frac{1}{2}}\leq \left( \summe_{k=1}^{n+1}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left( \left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}+a_{n+1}^2 \right) +\left( \summe_{k=1}^{n}{b_k^2}+b_{n+1}^2 \right) \right)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
Da beide Seiten positiv sind, gilt:
[mm] $\gdw \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}+a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2+2\cdot\sqrt{\summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\cdot a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2}\leq\left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}+a_{n+1}^2 \right) \cdot\left( \summe_{k=1}^{n}{b_k^2}+b_{n+1}^2 \right)$
[/mm]
[mm] $\gdw \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}+a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2+2\cdot\sqrt{\summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\cdot a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2}\leq \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}+a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2+\summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot b_{n+1}^2+\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\cdot a_{n+1}^2$
[/mm]
[mm] $\gdw 2\cdot\sqrt{\summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\cdot a_{n+1}^2\cdot b_{n+1}^2} \leq \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot b_{n+1}^2+\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\cdot a_{n+1}^2$
[/mm]
[mm] $\gdw 2\cdot\sqrt{\left( \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot b_{n+1}^2\right) \cdot \left( \summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\cdot a_{n+1}^2\right) } \leq \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot b_{n+1}^2+\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\cdot a_{n+1}^2$
[/mm]
Nun können wir aber mals die Ungleichung zwischen geometrischen und arithmetischen Mittel auf der linken Seite anwenden und erhalten:
[mm] $\gdw \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot b_{n+1}^2+\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\cdot a_{n+1}^2 \leq \summe_{k=1}^{n}{a_k^2}\cdot b_{n+1}^2+\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}\cdot a_{n+1}^2$
[/mm]
[mm] $0\leq [/mm] 0$
Damit können wir getrost den letzten Schritt wagen (vor "SCHRITT"), auf den diese riesige Rechnung folgt und erhalten das Ende der Induktion mit:
$ [mm] \leq \frac{\summe_{k=1}^{n}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n}{b_k^2}}{2}+\frac{a_{n+1}^2+b_{n+1}^2}{2}=\frac{\summe_{k=1}^{n+1}{a_k^2}+\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}}{2} \leq \left( \summe_{k=1}^{n+1}{a_k^2}\cdot\summe_{k=1}^{n+1}{b_k^2}\right)^{\frac{1}{2}}$
[/mm]
So, damit sind wir fertig.
Wie gesagt, die Ungleichung lässt sich leicht zeigen, auch ohne Induktion. Des weiteren gilt für diese Monsterrechnung hier keine Gewähr, und ich hoffe, dass sich jemand drangibt und sie Stück für Stück durcharbeitet.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Sanne84 |
Hallo!
Erst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort von euch beiden. Wir sollen diese Aufgabe leider wirklich mit Hilfe der vollständigen Induktion lösen.
Ich verstehe deine 1. Annahme leider nicht.
0 [mm] \le \left( a_{n+1} \left( \sum\limits_{k=1}^n a_k^2 \right)^{\frac{1}{2}} - b_{n+1} \left( \sum\limits_{k=1}^n b_k^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right)^2 [/mm]
Das Ausmultiplizieren mit der 2. Binomischenformel ist mir dann wieder klar. Aber wie kommst du auf diese erste Zeile?
Den restlichen Teil der vollständigen Induktion verstehe ich auch. Aber wie komme ich dann von deiner letzten Zeile in die Zeile mit * ? Wie darf ich die Summenzeichen zusammenfassen?
Kann man
[mm] \sum\limits_{k=1}^n a_k^2\sum\limits_{k=1}^n b_k^2\ [/mm]
vereinfachen??
Sorry, dass ich so viele Fragen habe, aber ich will endlich verstehen, wie man damit umgehen kann. Würde mich freuen, wenn du mir das noch erklären könntest.
Lg Sanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 So 07.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sanne!
> Ich verstehe deine 1. Annahme leider nicht.
> 0 [mm]\le \left( a_{n+1} \left( \sum\limits_{k=1}^n a_k^2 \right)^{\frac{1}{2}} - b_{n+1} \left( \sum\limits_{k=1}^n b_k^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right)^2[/mm]
Hier hatte ich mich verschrieben, Hanno hat mich freundlicherweise darauf aufmerksam gemacht. Schau es dir jetzt noch einmal an.
Du nutzt einfach aus, dass das Quadrat (wie jedes Quadrat) größer oder gleich $0$ ist...
> Das Ausmultiplizieren mit der 2. Binomischenformel ist mir
> dann wieder klar. Aber wie kommst du auf diese erste
> Zeile?
Ich habe ein bisschen rumexperimentiert und dann gesehen, dass dieser Weg zum Zeil führt.  Mathematisch steckt, wie gesagt, nur dahinter, dass für jedes Quadrat $0 [mm] \le (\cdots)^2$ [/mm] gilt.
> Den restlichen Teil der vollständigen Induktion verstehe
> ich auch. Aber wie komme ich dann von deiner letzten Zeile
> in die Zeile mit * ? Wie darf ich die Summenzeichen
> zusammenfassen?
Du sollst doch (*) benutzen. Ich rechne es mal zu Ende vor, in einem anderen Beitrag.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 So 07.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Hier noch der Rest, damit ist die Aufgabe vollständig gelöst:
[...]
> (*) [mm]2 a_{n+1} b_{n+1} \left(\sum\limits_{k=1}^n a_k^2\right)^{\frac{1}{2}} \left(\sum\limits_{k=1}^n b_k^2\right)^{\frac{1}{2}} \le b_{n+1}^2 \sum\limits_{k=1}^n a_k^2 + a_{n+1}^2 \sum\limits_{k=1}^n b_k^2[/mm].
[...]
> Jetzt kommst die eigentliche Induktion:
>
> Es gilt:
>
> [mm]\left( \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k b_k \right)^2[/mm]
>
> [mm]= \left( \sum\limits_{k=1}^n a_k b_k + a_{n+1} b_{n+1} \right)^2[/mm]
>
> [mm]= \left( \sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 + 2 a_{n+1} b_{n+1} \sum\limits_{k=1}^n a_k b_k + a_{n+1}^2 b_{n+1}^2[/mm]
>
>
> [mm]\stackrel{(IV)}{\le} \left( \sum\limits_{k=1}^n a_k^2 \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=1}^n b_k^2 \right) + 2 a_{n+1} b_{n+1} \left(\sum\limits_{k=1}^n a_k^2\right)^{\frac{1}{2}} \left(\sum\limits_{k=1}^n b_k^2\right)^{\frac{1}{2}} + a_{n+1}^2 b_{n+1}^2[/mm]
>
>
[mm]\stackrel{(\*)}{\le} \left( \sum\limits_{k=1}^n a_k^2 \right) \cdot \left( \sum\limits_{k=1}^n b_k^2 \right) + b_{n+1}^2 \sum\limits_{k=1}^n a_k^2 + a_{n+1}^2 \sum\limits_{k=1}^n b_k^2 + a_{n+1}^2 b_{n+1}^2[/mm]
[mm]= \left( \sum\limits_{k=1}^n a_k^2 + a_{n+1}^2\right) \cdot \left( \sum\limits_{k=1}^n b_k^2 + b_{n+1}^2 \right)[/mm]
[mm]= \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k^2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n+1} b_k^2[/mm].
Insgesamt haben wir also:
[mm]\left( \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k b_k \right)^2 \le \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k^2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n+1} b_k^2[/mm].
Zieht man jetzt auf beiden Seiten die Wurzel, so folgt die Behauptung.
Jetzt sollte aber doch alles klar sein, oder? Wenn nicht, dann frage bitte gezielt nach und beschreibe, was genau unklar ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 So 07.11.2004 | | Autor: | Sanne84 |
Super, hab's denke ich ganz gut verstanden.... Vielen Dank!
Aber wie du auf die erste Zeile kommst ist mir noch immer schleierhaft...der Term ist doch voll aus der Luft gegriffen...eine bessere Erklärung als "Ausporbieren" gibt es da echt nicht?? Na, ja wie auch immer.
Schönen Sonntag noch...
Liebe Grüße Sanne
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