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| Aufgabe | Zeigen Sie für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2:
[mm] \produkt_{k=2}^{n} [/mm] (1- 2/ k(k+1)) = 1/3 ( 1 + 2/n).
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Hallo,
ich weiss leider nicht wie man hier einen Bruchstrich darstellt. Ich hoffe meine Aufgabenstellung ist definierbar!
Meine Frage:
Kann ich die Aufgabe mit vollständiger Induktion beweisen?
Wenn ja ist meine Rechnung richtig:
zz: (1- 2/2(2+1) * (1- 2/3(3+1) * ...* (1- 2/n(n+1)) = 1/3 (1+ 2/n) XXX
Induktionsanfang:
n=2
LS: 2/3
RS: 2/3
LS = RS
Induktionsannahme: XXX (siehe oben)
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1
LS: (1- 2/2(2+1) * (1- 2/3(3+1) * ...* (1- 2/n(n+1)) * (1- 2/(n+1) ((n+1) +1)
dann setze ich den vordern Teil gleich der Induktionsannahme XXX und dann bin ich am Ende mit meinem Latein.
RS: 1/3 (1+ 2/n+1)
wie kann ich jetzt LS = RS nachweisen?? Ich weiss nicht wie ich das jetzt rechne bzw. zusammenfasse!
Wäre nett wenn jemand darüber schauen könnte und mir vllt. helfen kann.
Danke schon mal im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Di 04.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mathefragen!
Prinzipiell sieht Deine Vorgehensweise gut und richtig aus. Nun geht es mit Einsetzen der Induktionsvoraussetzung an etwas Bruchrechnung und Zusammenfassen:
$$\produkt_{k=2}^{n+1}\left(1-\bruch{2}{k*(k+1)}\right) \ = \ \blue{\produkt_{k=2}^{n}\left(1-\bruch{2}{k*(k+1)}\right)}*\left(1-\bruch{2}{(n+1)*(n+2)}\right) \ = \ \blue{\bruch{1}{3}*\left(1+\bruch{2}{n}\right)}}*\left(1-\bruch{2}{(n+1)*(n+2)}\right) \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Erst mal ganz ganz lieben Dank für deine schnelle Hilfe.
Ich habe bei der LS genau das Ergebnis raus. Mein Problem ist eben gerade das ausrechnen.
Bei der RS habe ich raus:
1/3 (1+ 2/n+1)
ich muss ja wie auch schon beim induktionsanfang zeigen: LS = RS
kann ich die RS so stehen lassen? und wie bringe ich die LS in diese form??
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Hallo Mathefragen,
> Erst mal ganz ganz lieben Dank für deine schnelle Hilfe.
>
> Ich habe bei der LS genau das Ergebnis raus. Mein Problem
> ist eben gerade das ausrechnen.
>
> Bei der RS habe ich raus:
>
> 1/3 (1+ 2/n+1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ich muss ja wie auch schon beim induktionsanfang zeigen: LS
> = RS
>
> kann ich die RS so stehen lassen? und wie bringe ich die LS
> in diese form??
>
Das hat Loddar doch schon fast vollständig aufgeschrieben, ein bisschen was solltest du bei dieser Aufgabe auch tun.
Wo ist denn das Problem?
Du kannst doch wohl zwei Klammern ausmultiplizieren, und wie du anschließend die Brüche addieren kannst, weißt du auch, oder?
Nimm dir also Loddars letzten Term her und mach' mal ...
(die [mm] \frac{1}{3} [/mm] lässt du sinnigerweise stehen und multiplizierst die nicht mit aus ...)
Echt ... 
LG
schachuzipus
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