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| Aufgabe | | Zeigen sie mittels vollständiger Induktion [mm] 1+1/2+1/4+...+1/2^n [/mm] = 2 [mm] -1/2^n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe schon einen Artikel auf dieser Website gefunden. Aber ich werde da nicht gnz schlau draus. Bei der vollständigen Induktion muss doch die Anfangs behauptung überprüfen, dann die Vorraussetzung überprüfen und dann die Schlussfolgerung. Ich bin mir nicht sicher wie es bei meiner Aufgabe abläuft.
Was nehme ich als Anfangswert?
Ich habe mal Null genommen, ist das richtig oder muss es 1 sein. Dann stimmt die Anfangsbehauptung eigentlich nicht!
1= 2- [mm] 1/2^0 [/mm] =1 damit wäre die Vorraussetzung erfüllt
Wie sieht dann der Schluss aus kann mir da einer helfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo MatheMarkus.
Also, zu Beginn musst du den sog. Induktionssanfang durchführen.
Wichtig ist dabei, dass du schaust, mit welchem Wert deine Zahlenmenge anfängt. Das hängt also davon ab, wie ihr [mm] \IN [/mm] definiert habt. Man kann das ja auf zwei Arten definieren:
[mm] \IN [/mm] = {0,1,2,3,...} oder
[mm] \IN [/mm] = {1,2,3,4,...} (also ohne die 0)
Wenn [mm] \IN [/mm] die 0 beinhaltet (müsste dann in der Aufgabenstellung stehn denk ich), dann darfst du auch mit n=0 anfangen. Wenn das nicht da steht, würde ich es zur Sicherheit mit n=1 machen.
Dann folgt die Indukionsannahme:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] beliebig, fest und gelte die Ausage A(n)
Die sieht auch IMMER gleich aus.
Deine Aussage A(n) ist hierbei:
1 + [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
Weißt du, wie du da jetzt weiter (Induktionsbehauptung, -schritt) vorgehst? Und ist bisher alles klar?
EDIT: Sry hab das in deinem Thema überlesen. Also der Induktionsschluss setzt sich aus der Induktionsbehauptung und dem Induktionsschritt zusammen. Ich persönlich mache immer beides getrennt.
Also, ingesamt nennt sich das Folgende der Induktionsschluss.
Dazu:
Induktionsbehauptung (das ist das, was du zeigen möchtest)
A(n+1) = 1+ [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Also einfach dein n durch n+1 ersetzen.
Nun:
Induktionsschritt:
Gehe also von der linken Seite deiner Behauptung aus, also von 1 + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}. [/mm] Dann sollst du nun auf die rechte Seite kommen. Schau mal auf den Nenner und wende mal ein Potenzrechengsetz an. Fällt dir was auf?
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Danke für deine schnelle Antwort!
Also in der Aufgabe steht nix von einer Regelung ob N bei 1 anfängt oder bei 0.
Wenn es bei 1 anfängt dann wäre die Anfangsbehauptung doch schon falsch. Oder versteh ich da was falsch.
Vorraussetzung ist ja genau wie in der Aufgabenstellung oder?
Schluss:?? Da hab ich nicht wirklich Ahnung. Ich habe zu jedem n ein +1 dazu addiert. Also [mm] .....1/2^n+1=2-1/2^n+1 [/mm] ist das richtig und wie soll es weiter gehen?
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ist das richtig so=
[mm] 2-1/2^n+1= 2-2^n-1
[/mm]
Ist das das Potenzgesetz was du meinst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Was du machen solltest, ist es, genau zu überlegen, WAS die Aussage ist. Ich hatte mich da eben auch was vertan.
Die Aussage ist A(n): 1 + [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
So:
Induktionsanfang: n = 1
linke Seite überprüfen: 1 + [mm] \bruch{1}{2^{1}} [/mm] = 1,5
rechte Seite überprüfen: 2 - [mm] \bruch{1}{2^{1}} [/mm] = 1,5
Also ist die Aussage für n=1 erfüllt. Wenn das nicht in der Aufgabe steht, dann geh davon aus, dass die 0 nicht in [mm] \IN [/mm] liegt.
Induktionsannahme:
Also nochmal: Sei n [mm] \in \IN [/mm] beliebig, fest und gelte die Aussage A(n)
Erkärung dazu: Diese Aussage kannst du so auswendig lernen. Aber was bedeutet die überhaupt? Ganz einfach: Wir nehmen uns irgendein n [mm] \in \IN. [/mm] Dieses ist fest d.h. das es einen Wert behält. Es kann also nicht erst 3 und dann plötzlich 5 sein. Wichtig ist jetzt, dass die Aussage A(n) gilt. Die Aussage, die du eigentlich zeigen sollst, musst du jetzt garnicht mehr zeigen. Das ist GANZ wichtig, ok. Also tu einfach so, als würde die schon gelten, ok. Merk dir das.
Induktionsschluss (dieser unterteilt sich in Induktionsbehauptung und Induktionsschritt):
(1) Induktionsbehauptung:
Es soll gelten: 1 + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Also einfach dein n aus A(n) durch n+1 ersetzen, ok.
(2) Induktionsschritt:
Das ist das ENTSCHEIDENDE. Du musst nun die Aussage in der Induktionsbehauptung beweisen, nicht die "alte" Aussage.
Du beginnst also mit:
1 + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}, [/mm] also mit der linken Seite
Man wende nun ein Potenzrechengesetz an
1 + [mm] \bruch{1}{2^{n} + 2^{1}}
[/mm]
Und [mm] 2^{1} [/mm] =2, also: 1 + [mm] \bruch{1}{2^{n} + 2}
[/mm]
Verstehst du bisher alles? Dann kann ich dir beim Schluss mehr helfen.
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Ähm wie alles quatsch??? Wie ist es denn richtig? Man so versteh ich es nie;-(
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Da hast du Recht - normalerweise sind die Antworten hier deutlich besser als die auf deine Fragen waren (außer die von schachuzipus, die von fred bezogen sich ja eher weniger auf den Inhalt).
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ich hab doch gesagt, dass es mir leid tut. Schau mal meinen Beitrag ganz unten an, das stimmt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Sa 15.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Was du machen solltest, ist es, genau zu überlegen, WAS
> die Aussage ist. Ich hatte mich da eben auch was vertan.
>
> Die Aussage ist A(n): 1 + [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm] = 2 -
> [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> So:
>
>
>
> Induktionsanfang: n = 1
>
> linke Seite überprüfen: 1 + [mm]\bruch{1}{2^{1}}[/mm] = 1,5
>
> rechte Seite überprüfen: 2 - [mm]\bruch{1}{2^{1}}[/mm] = 1,5
>
> Also ist die Aussage für n=1 erfüllt. Wenn das nicht in
> der Aufgabe steht, dann geh davon aus, dass die 0 nicht in
> [mm]\IN[/mm] liegt.
>
>
>
> Induktionsannahme:
>
> Also nochmal: Sei n [mm]\in \IN[/mm] beliebig, fest und gelte die
> Aussage A(n)
>
> Erkärung dazu: Diese Aussage kannst du so auswendig
> lernen. Aber was bedeutet die überhaupt? Ganz einfach: Wir
> nehmen uns irgendein n [mm]\in \IN.[/mm] Dieses ist fest d.h. das es
> einen Wert behält. Es kann also nicht erst 3 und dann
> plötzlich 5 sein. Wichtig ist jetzt, dass die Aussage A(n)
> gilt. Die Aussage, die du eigentlich zeigen sollst, musst
> du jetzt garnicht mehr zeigen. Das ist GANZ wichtig, ok.
> Also tu einfach so, als würde die schon gelten, ok. Merk
> dir das.
>
>
>
> Induktionsschluss (dieser unterteilt sich in
> Induktionsbehauptung und Induktionsschritt):
>
>
> (1) Induktionsbehauptung:
>
> Es soll gelten: 1 + [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm] = 2 -
> [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm]
>
> Also einfach dein n aus A(n) durch n+1 ersetzen, ok.
>
>
> (2) Induktionsschritt:
>
> Das ist das ENTSCHEIDENDE. Du musst nun die Aussage in der
> Induktionsbehauptung beweisen, nicht die "alte" Aussage.
>
> Du beginnst also mit:
>
> 1 + [mm]\bruch{1}{2^{n+1}},[/mm] also mit der linken Seite
>
> Man wende nun ein Potenzrechengesetz an
>
> 1 + [mm]\bruch{1}{2^{n} + 2^{1}}[/mm]
>
> Und [mm]2^{1}[/mm] =2, also: 1 + [mm]\bruch{1}{2^{n} + 2}[/mm]
>
>
>
>
> Verstehst du bisher alles?
Das kann er nicht !
Nicht böse sein, aber so viel Unsinn wie oben habe ich selten gelesen.
FRED
> beim Schluss
> mehr helfen.
>
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Hallo,
> Danke für deine schnelle Antwort!
>
> Also in der Aufgabe steht nix von einer Regelung ob N bei 1
> anfängt oder bei 0.
> Wenn es bei 1 anfängt dann wäre die Anfangsbehauptung
> doch schon falsch. Oder versteh ich da was falsch.
Offensichtlich.
Falls dir klar ist, dass [mm]1=2^0[/mm] ist, dann solltest du erkennen, dass für [mm]n=1[/mm] auf der linken Seite der Behauptung steht:
[mm]\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}[/mm]
Und das ist [mm]=1+\frac{1}{2}[/mm]
Was steht rechterhand?
>
> Vorraussetzung ist ja genau wie in der Aufgabenstellung
> oder?
Das heißt Voraussetzung mit nur einem "r" !!
>
> Schluss:?? Da hab ich nicht wirklich Ahnung. Ich habe zu
> jedem n ein +1 dazu addiert. Also [mm].....1/2^n+1=2-1/2^n+1[/mm]
> ist das richtig und wie soll es weiter gehen?
Dazu siehe die anderen Antworten ...
Gruß
schachuzipus
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> Deine Aussage A(n) ist hierbei:
>
> 1 + [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm] = 2 - [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
Ähm, das ist aber so nicht ganz richtig, oder?
(Schon allein da diese Aussage für verdammt viele n falsch wäre)
Meiner Meinung nach müsste A(n) lauten:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \frac{1}{2^i} [/mm] = 2 - [mm] \frac{1}{2^n}
[/mm]
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Mhh ich verstehe das Prinzip glaube ich noch garnicht.
Am Ende muss ja auf jeden Fall auf beiden Seiten der Gleichung das selbe stehen damit das ganze per vollständiger Induktion bewiesen ist oder?
In der Schlussfolgerung steht:
[mm] 1+1/2^n+1 [/mm] = 2 - [mm] 1/2^n+1 [/mm] oder
Jetzt sollte ich noch ein Potenzgesetz auf 2 - [mm] 2^n+1 [/mm] anwenden dachte man kann das als 2 - [mm] 2^n-1 [/mm] schreiben??
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Hallo,
> Mhh ich verstehe das Prinzip glaube ich noch garnicht.
> Am Ende muss ja auf jeden Fall auf beiden Seiten der
> Gleichung das selbe stehen damit das ganze per
> vollständiger Induktion bewiesen ist oder?
>
> In der Schlussfolgerung steht:
>
> [mm]1+1/2^n+1[/mm] = 2 - [mm]1/2^n+1[/mm] oder
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Oh wei oh wei ...
Zum einen hat das aber auch gar nix mit der (Induktions)Behauptung zu tun, zum anderen gilt in Westeuropa Punkt- vor Strichrechnung, also setze Klammern, wo nötig oder noch besser: Nutze den Formeleditor.
Noch mal zum Prinzip im Induktionsschritt:
Du hast die Induktionsbehauptung.
Die besagt, dass die Aussage für irgendein beliebiges, aber festes [mm]n\in \IN[/mm] gelte.
Im Induktionsbeweis ist dann zu zeigen, dass die Beh. auch für [mm]n+1[/mm] gilt.
Also sei [mm]n\in\IN[/mm] beliebig, aber fest und gelte
[mm]\red{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^n}=2-\frac{1}{2^n}}[/mm]
Das ist die Induktionsvoraussetzung
Nun ist zu zeigen, dass dies auch für [mm]n+1[/mm] gilt, dass also gilt:
[mm]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=2-\frac{1}{2^{n+1}}[/mm]
Dazu nimm die linke Seite dieser zu zeigenden Gleichheit her und forme sie so um, dass du die rote IV anwenden kannst:
[mm]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}} \ = \ \left(\red{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^n}}}\right)+\frac{1}{2^{n+1}}[/mm]
Nun wende auf die rote Klammer die IV an und verrechne das ganze so, dass am Ende rauskommt: [mm]\ldots=2-\frac{1}{2^{n+1}}[/mm]
>
> Jetzt sollte ich noch ein Potenzgesetz auf 2 - [mm]2^n+1[/mm]
> anwenden dachte man kann das als 2 - [mm]2^n-1[/mm] schreiben??
Das kann kein Mensch lesen
Gruß
schachuzipus
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Mhh okay. Wie geht es dann weiter oder war es das schon? Die AUsdrücke sind ja noch nicht gleichwertig!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Ein großes Danke an fred. Was ich geschrieben habe, war natürlich komplett falsch. Sry deswegen.
Die Aussage A(n) ist:
[mm] \summe_{i=0}^{n} (\bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 2- [mm] \bruch{1}{2^n}
[/mm]
So, aber das sollte jetzt stimmen
Als Induktionsschluss hast du dann:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1} (\bruch{1}{2^{i}} [/mm] = 2- [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Nun kannst du die Summe zerlegen in zwei Summanden:
[mm] \summe_{i=0}^{n} (\bruch{1}{2^{i}} [/mm] + ...
Was muss bei ... hin?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ach, ich schreibs mal komplett hin, ok. Schaus dir dann mal an
A(n): [mm] \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{2^{i}}) [/mm] = 2- [mm] \bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
IA: n=0 (erklär dir gleich, wieso)
[mm] \summe_{i=0}^{0}(\bruch{1}{2^{i}}) [/mm] = 1
2- [mm] \bruch{1}{2^{0}} [/mm] = 1 ok
IB: Sei n [mm] \in \IN [/mm] beliebig, fest und gelte A(n)
IS:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}(\bruch{1}{2^{i}})
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{2^{i}}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
= 2 - [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
So und nun Bruchrechung. Du musst kommen auf:
2- [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Versuch mal.
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Hallo nochmal,
> Mhh okay. Wie geht es dann weiter
Was soll das heißen?
Ich habe doch ganz deutlich und sogar in Farbe geschrieben, dass du nun auf den roten Term in der Klammer die Induktionvoraussetzung anwenden sollst ...
Und du fragst postwendend, was nun zu tun ist ...
Was soll ich davon halten???
> oder war es das schon?
Nein, siehe Antwort oben
> Die AUsdrücke sind ja noch nicht gleichwertig!
Aber bald ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Sa 15.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo MatheMarkus.
>
> Also, zu Beginn musst du den sog. Induktionssanfang
> durchführen.
>
> Wichtig ist dabei, dass du schaust, mit welchem Wert deine
> Zahlenmenge anfängt. Das hängt also davon ab, wie ihr [mm]\IN[/mm]
> definiert habt. Man kann das ja auf zwei Arten definieren:
>
> [mm]\IN[/mm] = {0,1,2,3,...} oder
>
> [mm]\IN[/mm] = {1,2,3,4,...} (also ohne die 0)
>
> Wenn [mm]\IN[/mm] die 0 beinhaltet (müsste dann in der
> Aufgabenstellung stehn denk ich), dann darfst du auch mit
> n=0 anfangen. Wenn das nicht da steht, würde ich es zur
> Sicherheit mit n=1 machen.
>
> Dann folgt die Indukionsannahme:
>
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] beliebig, fest und gelte die Ausage A(n)
>
> Die sieht auch IMMER gleich aus.
>
> Deine Aussage A(n) ist hierbei:
>
> 1 + [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm] = 2 - [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
Das ist doch Quatsch !!!!!
>
> Weißt du, wie du da jetzt weiter (Induktionsbehauptung,
> -schritt) vorgehst? Und ist bisher alles klar?
>
> EDIT: Sry hab das in deinem Thema überlesen. Also der
> Induktionsschluss setzt sich aus der Induktionsbehauptung
> und dem Induktionsschritt zusammen. Ich persönlich mache
> immer beides getrennt.
>
> Also, ingesamt nennt sich das Folgende der
> Induktionsschluss.
>
> Dazu:
>
> Induktionsbehauptung (das ist das, was du zeigen
> möchtest)
>
> A(n+1) = 1+ [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm] = 2 - [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm]
Nochmal Quatsch !!!!
>
> Also einfach dein n durch n+1 ersetzen.
>
> Nun:
>
> Induktionsschritt:
>
> Gehe also von der linken Seite deiner Behauptung aus, also
> von 1 + [mm]\bruch{1}{2^{n+1}}.[/mm] Dann sollst du nun auf die
> rechte Seite kommen. Schau mal auf den Nenner und wende mal
> ein Potenzrechengsetz an. Fällt dir was auf?
Lieber Solrakt,
die nachfolgenden Beiträge von Dir zu dieser Frage habe ich auch gelesen.
Sie sind alle fehlerhaft !!!
So hilfst Du keinem. Im Gegenteil.
Ziehe also alles, was Du bisher geschrieben hast schnellstens zurück !!!
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo MatheMarkus
Ich fang nochmal von vorne an xD Sry. Jetzt gehe ich es mal Schritt für Schritt durch, damit du mir folgen kannst.
Deine Ausage war ja:
1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
So, jetzt weiß ich nicht, ob du diese Schreibweise mit dem Summenzeichen kennst. Aber ich geh jetzt mal davon aus, ok. Wenn nicht, dann pass gut auf. Ich erklärs auch nochmal.
Schau dir mal die linke Seite deiner Aussage an. Du hast ja da ... stehn. Um den Term auf der linken Seite zusammenzufassen, schreibt man nun auch:
[mm] \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{2^{i}})
[/mm]
Wenn du das nicht kennst, ist das auch nicht schlimm. Ich wollts nur mal erwähnen. Lassen wirs mal weg. Geht ja auch anders. ;)
So, wie beginnt man nun mit dem Induktionsprinzip. Ganz einfach. Du musst dazu 4 Schritte machen:
(1) Induktionsanfang
(2) Induktionsannahme
(3) Induktionsbehauptung
(4) Induktionsschritt
(3) und (4) nennt man zusammen auch den Induktionsschluss.
Ich geh jetzt mal alles durch, ok:
(1) Ich würde hier aber trotzdem n=1 wählen, da du nicht weißt, ob die 0 in [mm] \IN [/mm] festgesetzt wurde. Obwohl das hier mit 0 auch klappen würde. Bei meinem Dozenten wird das aber immer gesagt, wenn die 0 dazu gehört. Von daher kann ichs auch nur so sagen.
1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
Das war die Aussage. Ich versuchs jetzt mal ohne dieses Summenzeichen zu erklären:
Du siehst am Bruch [mm] \bruch{1}{2^{n}}, [/mm] dass im Nenner was mit [mm] 2^{n} [/mm] steht. Für die anderen Brüche gilt also nun, dass da was ähnliches stehn muss. Für den Bruch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] könntest du also auch [mm] \bruch{1}{2^{1}} [/mm] (dann wäre n=1) schreiben. Für den Bruch [mm] \bruch{1}{4} [/mm] könntest du auch [mm] \bruch{1}{2^{2}} [/mm] (dann wäre n=2) schreiben.
Wenn also n jetzt lediglich 1 ist, bleibt dann ja nur der Teil
1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 1,5
Nun die rechte Seite: 2 - [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm]
Da muss man nur n=1 einsetzen und es kommt auch 1,5 raus.
FERTIG MIT (1)
(2) Sei n [mm] \in \IN [/mm] beliebig, fest und gelte A(n)
Das n [mm] \in \IN [/mm] ist, ist ja klar. Das "beliebig" heißt, dass das nun nicht nur für n=1 gelten soll, sondern auch für alle anderen n's aus [mm] \IN [/mm] . "Fest" muss aber sein, damit man damit arbeiten kann. Die Aussage, die du eigentlich zeigen sollst, gilt ja (nach Punkt 1) für n=1. Jetzt soll die aber auch für n=2 gelten, also quasi für n+1, wenn du n=1 wählst. Wenn du bei Punkt 1 n=3 gewählt hättest und die Aussage dafür gelte, so müsse diese Aussage auch für n=4 gelten, also für n+1. Dann hättest du jedoch die Aussage für n=1 und n=2 nicht gezeigt. Das ist auch der Grund, warum man beim kleinsten n anfängt. Anschaulich kannst du dir das Induktionsprinzip am Domino-Effekt deutlich machen. Wenn du mehrere Dominos in einer Reihe hast und den ersten umstößt, dann fallen auch andere anderen. Ich hoffe, dass der Gedanke nun etwas klarer ist. Obigen Satz (neben Punkt 2) solltest du so auswendig lernen. Unbedingt verstehn musst es natürlich nicht, da eine Induktion meist nach Schema F abläuft, aber kann ja nie schaden.
(3) Induktionsbehauptung
Das ist einfach die gleiche Aussage, nur für n+1 statt n. Also:
1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
(4) Induktionsschritt
So, nun aber. Mach dir nochmal klar, dass deine Aussage, die du eigentlich zeigen solltest, jetzt stimmen würde. Du sollst damit nun die Behauptung aus Punkt 3 zeigen.
1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Das ist unser Ausgangsterm (siehe Punkt 3)
Den Bruch [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] Kannst du mithilfe der Potenzrechengesetze aufteilen in [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Aber hier muss ich jetzt fragen, ob du die Summenzeichenschreibweise kennst.
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super danke euch vielmals für die vielen antworten.
ja die summenschreibweise kenne ich!
wie geht es denn dann weiter?
und nochmal danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Kein Problem. Obwohl, sry für meine ersten Antworten. Ich hoffe, dass es JETZT etwas klarer geworden ist.
Wenn die Schreibweise mit dem Summenzeichen kennst, ist das wesentlich einfacher. Also:
Mit dieser Schreibweise lautet die Induktionsbehauptung (Punkt 3)
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}(\bruch{1}{2^{i}}) [/mm] =2 - [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Induktionsschritt:
Man geht nun von der linken Seite aus, also von
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}(\bruch{1}{2^{i}})
[/mm]
Nun kann man diese Summe in zwei Summanden zerlegen:
[mm] \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{2^{i}}) [/mm] + [mm] \summe_{i=n+1}^{n+1}(\bruch{1}{2^{i}})
[/mm]
Die zweite Summe kannst du jetzt anders schreiben:
[mm] \summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{2^{i}}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
So, die erste Summe sollte dir bekannt vorkommen. Schau dir deine "alte" Aussage (die du eigentlich zeigen wolltest) an. ;) So, wie in Punkt 2 aber steht, soll die Aussage aber gelten, sodass du diese ausnutzen kannst. (So ein Schritt, also das Ersetzen durch die geltende Aussage kommt bei der Induktion IMMER. Wenn du sowas nicht drin hast, stimmt die Induktion nicht. Merk dir das ;))
2 - [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
So, und jetzt musst du Bruchrechnung anwenden. Erweitere den ersten Bruch mit 2:
2 - [mm] \bruch{1*2}{2^{n}*2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Wenn man das Minuszeichen vorm ersten Bruch in den Zähler setzt, wirds etwas ersichtlicher:
2 + [mm] \bruch{- 2}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Man fasst nun beide Brüche (gleicher Nenner) zusammen und rechnet aus. Es folgt:
2 - [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm]
So, und das war die Behauptung (siehe Punkt 3), die man zeigen sollte.
Somit ist die Induktion gelungen. Was du jetzt noch schreiben solltest (die Aussage ganz am Anfang gilt also nun. in der Induktion war das ja nur eine Annahme, jetzt gilts aber):
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt A(n)
Das muss am Ende stehn.
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