vollständige Induktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 Do 25.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | a) Wir betrachten die Folge [mm] (v_{n})n\in\IN_{0}, [/mm] definiert durch
[mm] v_{0} [/mm] = 0, [mm] v_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{v_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Zeigen Sie durch vollständige Induktion: [mm] \forall n\in\IN [/mm] gilt: [mm] v_{n} \in [/mm] (0,1)
b) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm] e_{n} [/mm] = [mm] \bruch{3^{n+1}+2^{2}}{3^{n}+1}.
[/mm]
Geben Sie die von Ihnen verwendeten Rechenregeln \ Sätze für Folgen an. |
a) Meine Idee war erstmal zu zeigen, dass Monotonie herrscht:
[mm] v_{n+1} [/mm] - [mm] v_{n} [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow v_{n+1} [/mm] > [mm] v_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{v_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > [mm] v_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{v_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] > [mm] \bruch{v_{n-1}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
(Beide Seiten mit 2 multiplizieren anschließend die zwei 1er voneinander abziehen)
[mm] \Rightarrow v_{n} [/mm] > [mm] v_{n-1}
[/mm]
Jetzt will ich und muss ich zeigen, dass die Folge auch < 1 ist.
[mm] v_{n+1} [/mm] + [mm] v_{n} [/mm] < 1
[mm] \Rightarrow v_{n+1} [/mm] < 1 - [mm] v_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{v_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1 - [mm] \bruch{v_{n-1}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_{n} [/mm] + 1 < 3 - [mm] v_{n-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_{n} [/mm] + [mm] v_{n-1} [/mm] < 2
Das hilft mir wenig:(
b)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^{n+1}+2^{2}}{3^{n}+1}
[/mm]
Ersteinmal klammer ich [mm] 3^{n} [/mm] im Zähler und im Nenner aus.
Dementsprechend kann ich kürzen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3+\bruch{2^{n}}{3^{n}}}{1+\bruch{1}{3^{n}}}
[/mm]
I. Quotientenfolge:
[mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}3+\bruch{2^{n}}{3^{n}}}{\limes_{n\rightarrow\infty}2+\bruch{1}{3^{n}}}
[/mm]
II. Summen und Differenzfolge:
[mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(3)+\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2^{n}}{3^{n}})}{\limes_{n\rightarrow\infty}(2)+\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{3^{n}})}
[/mm]
[mm] \bruch{2^{n}}{3^{n}} [/mm] und [mm] \bruch{1}{3^{n}} [/mm] sind Nullfolgen.
3 und 2 sind natürlich konstante Folgen.
Also ist der Grenzwert 3 halbe.
Was mich an dieser Aufgabe verwirrt ist, dass ich Rechengesetze und Sätze angeben soll. Ich hab jetzt diese Punkte I. und II. angegeben. Hättet ihr es präziser gemacht?
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Hallo Maurizz,
ums kurz zu machen:
Dein Beweis für die a) ist unrettbarer Unsinn.
Dein Beweis der Monotonie hat die Monotonie als Voraussetzung.
Ähnliches gilt für den zweiten Teil.
Bitte schreibe einen sauberen Induktionsbeweis hin, d.h. mit Induktionsanfang, -behauptung und -schritt (oder wie auch immer ihr das jeweils genannt habt)
Wie wärs mit so was in der Art:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^{n+1}+2^{2}}{3^{n}+1}[/mm][mm] \overset{\text{Division durch }3^n}{=}[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3+\bruch{2^{n}}{3^{n}}}{1+\bruch{1}{3^{n}}}[/mm][mm] \overset{\lim \frac{a_n}{b_n} =\frac{\lim a_n}{\lim b_n}}{=}[/mm] [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}3+\bruch{2^{n}}{3^{n}}}{\limes_{n\rightarrow\infty}2+\bruch{1}{3^{n}}}[/mm]
usw.
Oder einfach die Nummer des verwendeten Satzes aus eurem Skript.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:27 Do 25.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
Da gibt es etwas was mich bei der Aufgabe ziemlich stört: Die Folge [mm] (v_{n}) \in \IN_{0}. [/mm] Betrachten soll ich aber [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Da steht [mm] v_{0} [/mm] = 0. Das ist aber nicht [mm] \in [/mm] (0,1)=]0,1[. Also beginne ich den Induktionsanfang bei n = 1?
Induktionsanfang: n = 1 [mm] \Rightarrow v_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \in [/mm] (0,1)
Induktionsvoraussetzung: [mm] \forall n\in\IN \Rightarrow v_{n} [/mm] = [mm] \bruch{v_{n-1}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \in [/mm] (0,1)
Induktionsbehauptung: [mm] \forall n\in\IN \Rightarrow v_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{v_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \in [/mm] (0,1)
Induktionsschritt? [mm] v_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{v_{n-2}}{2}+\bruch{1}{2}}{2}+\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{\bruch{v_{n-1}}{2}+\bruch{1}{2}}{2}+\bruch{1}{2}}{2}+\bruch{1}{2}
[/mm]
Das wird mir grad etwas abgespaced. Ich leg mich erstmal aufs Ohr und schaus mir morgen in Ruhe an.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:33 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Da gibt es etwas was mich bei der Aufgabe ziemlich stört:
> Die Folge [mm](v_{n}) \in \IN_{0}.[/mm]
das steht so nicht da - Du meinst sicher [mm] $v_n,$ [/mm] $n [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
> Betrachten soll ich aber
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm] Da steht [mm]v_{0}[/mm] = 0. Das ist aber nicht
> [mm]\in[/mm] (0,1)=]0,1[.
> Also beginne ich den Induktionsanfang bei
> n = 1?
Ja, denn es ist [mm] $\IN=\{1,2,3...\}=\IN_0 \setminus \{0\}\,.$ [/mm] Und die Behauptung
ist ja: Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $v_n \in (0,1)\,,$ [/mm] und NICHT:
Für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] ist...
> Induktionsanfang: n = 1 [mm]\Rightarrow v_{1}[/mm]
[mm] $=\frac{0}{2}+\frac{1}{2}=0+\frac{1}{2}$
[/mm]
(etwas übertrieben ergänzt - das musst Du nicht übernehmen!)
> = [mm]\bruch{1}{2} \in[/mm] (0,1)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
So, und nun gehe ich erstmal schlafen. Da und über den rest guckt sicher
sometree oder jmd. anderes nochmal schnell drüber. 
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:44 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
na, jetzt habe ich mir das doch gerade mal angeguckt, und ich muss sagen:
> Induktionsanfang: n = 1 [mm]\Rightarrow v_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \in[/mm]
> (0,1)
> Induktionsvoraussetzung: [mm]\forall n\in\IN \Rightarrow v_{n}[/mm]
Die Induktionsvoraussetzung ist: Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $v_n \in (0,1)\,.$ [/mm] (Oder
auch: Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $v_m \in [/mm] (0,1)$ für alle $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $m [mm] \le n\,.$)
[/mm]
> = [mm]\bruch{v_{n-1}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \in[/mm] (0,1)
> Induktionsbehauptung: [mm]\forall n\in\IN \Rightarrow v_{n+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{v_{n}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \in[/mm] (0,1)
>
> Induktionsschritt? [mm]v_{n+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{v_{n-2}}{2}+\bruch{1}{2}}{2}+\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{\bruch{v_{n-1}}{2}+\bruch{1}{2}}{2}+\bruch{1}{2}}{2}+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Das wird mir grad etwas abgespaced. Ich leg mich erstmal
> aufs Ohr und schaus mir morgen in Ruhe an.
Viel zu abgespaced. Du weißt im Induktionsschritt, dass $0 < [mm] v_n [/mm] < [mm] 1\,.$ [/mm] Du willst nun folgern, dass dann auch schon
$$0 < [mm] v_{n+1} [/mm] < 1$$
gelten muss.
Nach I.V. gilt also
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;0 [/mm] < [mm] v_n [/mm] < 1$$
und nach Definition von [mm] $v_{n+1}$
[/mm]
[mm] $$v_{n+1}=\frac{v_n}{2}+\frac{1}{2}\,.$$
[/mm]
Dividiere mal [mm] $(\*)$ [/mm] durch [mm] $2\,$ [/mm] $(>0)$ und addiere dann [mm] $1/2\,.$ [/mm] Was für eine
Ungleichungskette folgt dann, und was erkennst Du dann für [mm] $v_{n+1}$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 25.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
Stimmt, ich setze ja voraus, dass [mm] v_{n} \in [/mm] (0,1). Also 0 < [mm] v_{n} [/mm] < 1.
kurzer Einschub: Diese Voraussetzung ist ja nicht bewiesen. Ich nehme einfach irgendetwas an für ein Index [mm] n\in\IN [/mm] in Bezug auf irgendeine Aussage z.b [mm] (a_{n}). [/mm] Auch wenn jetzt noch garnicht klar ist ob [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] für alle n gilt, kann ich trotzdem überprüfen ob [mm] (a_{n+1}) [/mm] gelten kann. Und wenn das der Fall ist, bräuchte ich doch nur 1 einzigen konkreten Fall z.b n = 2 der wahr ist und es würde automatisch folgen, dass n = 3, 4, 5, ... ebenfalls wahr ist.
Zurück zur Aufgabe: Wenn 0 < [mm] v_{n} [/mm] < 1 gelten würde, dann will ich wissen ob 0 < [mm] v_{n+1} [/mm] < 1 gelten kann.
0 < [mm] v_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{v_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1
[mm] \gdw [/mm] 0 < [mm] \bruch{v_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1 |*2
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 < [mm] v_{n} [/mm] + 1 < 2
Wir wissen jetzt [mm] v_{n} [/mm] ist > 0 aber < 1, daraus folgt [mm] v_{n} [/mm] + 1 ist > 0 aber < 2. Und deshalb ist [mm] \bruch{v_{n}+1}{2} [/mm] > 0 aber kleiner 1.
Und da wir im Induktionsanfang für das kleinstmögliche n gezeigt haben, dass die voraussetzung erfüllt ist. Und wir dann gezeigt haben, dass es auch für (n+1) gilt. Ja dann gilt es eben.
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Hallo Maurizz,
bisschen viel Prosa, sonst gut.
Ich sehe voraus, dass der Editor ziemlich viel an Formeldarstellung zerschießen wird. Hoffentlich kannst Du mit meinen Anmerkungen trotzdem etwas anfangen.
> Stimmt, ich setze ja voraus, dass [mm]v_{n} \in[/mm] (0,1). Also 0 <
> [mm]v_{n}[/mm] < 1.
>
> kurzer Einschub: Diese Voraussetzung ist ja nicht bewiesen.
> Ich nehme einfach irgendetwas an für ein Index [mm]n\in\IN[/mm] in
> Bezug auf irgendeine Aussage z.b [mm](a_{n}).[/mm] Auch wenn jetzt
> noch garnicht klar ist ob [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] für alle n
> gilt, kann ich trotzdem überprüfen ob [mm](a_{n 1})[/mm] gelten
> kann.
Hm, ja. Aber wozu? Die "traditionelle" Reihenfolge hat doch was...
> Und wenn das der Fall ist, bräuchte ich doch nur 1
> einzigen konkreten Fall z.b n = 2 der wahr ist und es
> würde automatisch folgen, dass n = 3, 4, 5, ... ebenfalls
> wahr ist.
So wärs. Trotzdem solltest Du einfach zeigen: [mm] 0
> Zurück zur Aufgabe: Wenn 0 < [mm]v_{n}[/mm] < 1 gelten würde, dann
> will ich wissen ob 0 < [mm]v_{n 1}[/mm] < 1 gelten kann.
>
> 0 < [mm]v_{n 1}[/mm] := [mm]\bruch{v_{n}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 < [mm]\bruch{v_{n}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1 |*2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 < [mm]v_{n}[/mm] + 1 < 2
>
> Wir wissen jetzt [mm]v_{n}[/mm] ist > 0 aber < 1, daraus folgt [mm]v_{n}[/mm]
> + 1 ist > 0 aber < 2. Und deshalb ist [mm]\bruch{v_{n} 1}{2}[/mm] >
> 0 aber kleiner 1.
>
> Und da wir im Induktionsanfang für das kleinstmögliche n
> gezeigt haben, dass die voraussetzung erfüllt ist. Und wir
> dann gezeigt haben, dass es auch für (n+1) gilt. Ja dann
> gilt es eben.
Ja. Wie gesagt, zuviel Text. Beschränke Dich auf das Nötigste.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Do 25.04.2013 | | Autor: | reverend |
Oh, pardon, ich nehme den Generalverdacht zurück. Die Darstellung ist völlig ok.
Beim Schreiben fehlte den zitierten [mm] v_n [/mm] der Index, und Relationszeichen machen immer wieder Probleme, weil sie mit spitzen Klammern (und damit Steuerfunktionen) verwechselt werden können.
All das ist hier aber nicht aufgetreten.
lg
rev
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Stimmt, ich setze ja voraus, dass [mm]v_{n} \in[/mm] (0,1). Also 0 <
> [mm]v_{n}[/mm] < 1.
>
> kurzer Einschub: Diese Voraussetzung ist ja nicht bewiesen.
> Ich nehme einfach irgendetwas an für ein Index [mm]n\in\IN[/mm] in
> Bezug auf irgendeine Aussage z.b [mm](a_{n}).[/mm] Auch wenn jetzt
> noch garnicht klar ist ob [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] für alle n
> gilt, kann ich trotzdem überprüfen ob [mm](a_{n+1})[/mm] gelten
> kann. Und wenn das der Fall ist, bräuchte ich doch nur 1
> einzigen konkreten Fall z.b n = 2 der wahr ist und es
> würde automatisch folgen, dass n = 3, 4, 5, ... ebenfalls
> wahr ist.
worum geht's Dir gerade? Um das Induktionsprinzip? Ich mach's mal
kurz, vielleicht helfen Dir ja auch die Worte meines damaligen Dozenten:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf, Seite 10, interne Zählung
>
> Zurück zur Aufgabe: Wenn 0 < [mm]v_{n}[/mm] < 1 gelten würde, dann
> will ich wissen ob 0 < [mm]v_{n+1}[/mm] < 1 gelten kann.
>
> 0 < [mm]v_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{v_{n}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 < [mm]\bruch{v_{n}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1 |*2
>
> [mm]\red{\;\Rightarrow\;}[/mm] 0 < [mm]v_{n}[/mm] + 1 < 2
>
> Wir wissen jetzt [mm]v_{n}[/mm] ist > 0 aber < 1, daraus folgt [mm]v_{n}[/mm]
> + 1 ist > 0 aber < 2. Und deshalb ist [mm]\bruch{v_{n}+1}{2}[/mm] >
> 0 aber kleiner 1.
So, und ich sag's Dir jetzt nochmal: Wenn Du das so schreiben und bei mir
abgeben würdest, würde ich Dir die Hälfte der Punkte abziehen. Einfach aus folgendem Grund:
Du willst zeigen, dass eine Aussage [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist (einfach im Zeichen [mm] $A\,$). [/mm] Du rechnest nun
$$A [mm] \iff [/mm] B [mm] \iff [/mm] C [mm] \Longrightarrow [/mm] D$$
und sagst: [mm] $D\,$ [/mm] ist wahr. Und ich sage Dir jetzt nochmal: Damit hast Du die Gültigkeit von [mm] $A\,$
[/mm]
NICHT bewiesen, sondern nur gezeigt: Wenn [mm] $A\,$ [/mm] gilt, dann muss auch [mm] $D\,$ [/mm] gelten.
Das [mm] $\red{\;\Rightarrow\;}$ [/mm] oben ist keineswegs falsch - nur brauchst Du oben eben einfach genau die andere Richtung.
Nach Voraussetzung GILT $0 < [mm] v_n [/mm] < 1$ und daraus folgt eben $0 < [mm] v_n+1 [/mm] < [mm] 2\,,$ [/mm] und daraus folgerst Du nun $0 < [mm] v_{n+1} [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
(Ich hätte Dir übrigens niemals Punkte abgezogen, wenn Du oben anstatt des [mm] $\red{\;\Rightarrow\;}$ [/mm] ein
[mm] $\Leftarrow$ [/mm] geschrieben hättest, denn genau das wäre das, was logisch angebracht und richtig wäre. Du
dürftest auch ein [mm] $\iff$ [/mm] schreiben, aber wenn man $A [mm] \iff [/mm] B$ schreibt, sollte man sich STETS davon überzeugen,
dass auch wirklich SOWOHL $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ALS AUCH $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gelten!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Do 25.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
Nagut, dann mal auf die schnelle noch ein Versuch. Diesmal mit [mm] u_{0} [/mm] = 2, [mm] u_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{u_{n}}{2}+\bruch{1}{2}.
[/mm]
1 < [mm] v_{n+1} [/mm] < 2
[mm] \gdw [/mm] 1 < [mm] \bruch{v_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 2
[mm] \Leftarrow [/mm] 2 < [mm] v_{n} [/mm] + 1 < 4
führt zu nix.
[mm] v_{n+1} [/mm] > 1
[mm] \gdw \bruch{v_{n}}{2}+\bruch{1}{2} [/mm] > 1
[mm] \Leftarrow v_{n} [/mm] > 1
[mm] v_{n} \in [/mm] (1,?
[mm] v_{n+1} [/mm] < 2
[mm] \gdw \bruch{v_{n}}{2}+\bruch{1}{2} [/mm] < 2
[mm] \Leftarrow v_{n} [/mm] < 3
[mm] v_{n} \in [/mm] (1,3) [mm] \supset [/mm] (1,2)
damit bin ich nicht zufrieden.
Da mir nichts anderes einfällt will ich zeigen, dass [mm] v_{n} [/mm] monoton fallend ist. Dann ist es eindeutig [mm] \in [/mm] (1,2), weil [mm] v_{1} [/mm] < 2. Bzw: [mm] v_{n} \in [/mm] (1,2]
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} \le [/mm] 0
[mm] \bruch{v_{n}}{2}+\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] (\bruch{v_{n-1}}{2}+
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}) \le [/mm] 0
[mm] \bruch{v_{n}+1-1-v_{n-1}}{2}\le [/mm] 0
Wann ist [mm] v_{n} \le v_{n-1}?
[/mm]
Induktionsanfang: [mm] v_{2} \le v_{1} [/mm] = 1,25 [mm] \le [/mm] 1,5
[mm] v_{n} \le v_{n-1} \Rightarrow v_{n+1} \le v_{n} \gdw \bruch{v_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \le \bruch{v_{n-1}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow v_{n} \le v_{n-1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maurizz,
> Nagut, dann mal auf die schnelle noch ein Versuch.
lass' das mit "auf die schnelle" Mal, und lies Dir lieber erstmal meine
Antwort genau durch. Das, was Du hier machst:
> Diesmal
> mit [mm]u_{0}[/mm] = 2, [mm]u_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{u_{n}}{2}+\bruch{1}{2}.[/mm]
>
> 1 < [mm]v_{n+1}[/mm] < 2
>
> [mm]\gdw[/mm] 1 < [mm]\bruch{v_{n}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 2
>
> [mm]\Leftarrow[/mm] 2 < [mm]v_{n}[/mm] + 1 < 4
>
> führt zu nix.
>
>
> [mm]v_{n+1}[/mm] > 1
>
> [mm]\gdw \bruch{v_{n}}{2}+\bruch{1}{2}[/mm] > 1
>
> [mm]\Leftarrow v_{n}[/mm] > 1
>
>
> [mm]v_{n} \in[/mm] (1,?
>
>
> [mm]v_{n+1}[/mm] < 2
>
> [mm]\gdw \bruch{v_{n}}{2}+\bruch{1}{2}[/mm] < 2
>
> [mm]\Leftarrow v_{n}[/mm] < 3
>
>
> [mm]v_{n} \in[/mm] (1,3) [mm]\supset[/mm] (1,2)
>
>
> damit bin ich nicht zufrieden.
>
>
> Da mir nichts anderes einfällt will ich zeigen, dass [mm]v_{n}[/mm]
> monoton fallend ist. Dann ist es eindeutig [mm]\in[/mm] (1,2), weil
> [mm]v_{1}[/mm] < 2. Bzw: [mm]v_{n} \in[/mm] (1,2]
>
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n} \le[/mm] 0
>
> [mm]\bruch{v_{n}}{2}+\bruch{1}{2}[/mm] - [mm](\bruch{v_{n-1}}{2}+[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}) \le[/mm] 0
>
> [mm]\bruch{v_{n}+1-1-v_{n-1}}{2}\le[/mm] 0
>
> Wann ist [mm]v_{n} \le v_{n-1}?[/mm]
>
> Induktionsanfang: [mm]v_{2} \le v_{1}[/mm] = 1,25 [mm]\le[/mm] 1,5
>
> [mm]v_{n} \le v_{n-1} \Rightarrow v_{n+1} \le v_{n} \gdw \bruch{v_{n}}{2}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2} \le \bruch{v_{n-1}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \Rightarrow v_{n} \le v_{n-1}[/mm]
ist einfach nur "irgendwas" gerechnet, in der Hoffnung, irgendwas zu
erkennen, was Du gebrauchen kannst. (Entsprechend verliere ich da auch
die Lust, da noch irgendwelche Details zu korrigieren bzw. mir das mal
genauer anzugucken!) Es zeigt vor allem, dass Du immer noch nicht
verstanden hast, was Du benutzen darfst und was Du eigentlich folgern
willst. Sowas passiert, wenn man "auf die Schnelle" reagiert, und nicht mal
"mit Bedacht" etwas gänzlich neu macht. Mach's lieber langsam und
ordentlich, als schnell. Vor allem wirkt das so ein wenig so, als wenn Du die
Kritik von mir nicht annimmst - sei es, dass Du sie nicht annehmen willst,
sei es, dass Du einfach glaubst, dass Du das doch ständig schon richtig
machst. (Dieser Eindruck entsteht vor allem an der Stelle, an der ich, bei
kurzem drübergucken, sowas "tolles" sehe wie [mm] $v_n \le v_{n-1} \Rightarrow \ldots \Rightarrow v_n \le v_{n-1}$
[/mm]
- aha, es gilt also die unglaubliche Folgerung $A [mm] \Longrightarrow [/mm] A$ für eine Aussage [mm] $A\,$!
[/mm]
Das sollten wir unbedingt festhalten, am Besten sogar $A [mm] \iff [/mm] A$ sollte man
in jedes Buch aufnehmen!!!).
Auf mich wirkt das jedenfalls ein wenig so, als wenn Du "einfach mal
wieder so weitermachst wie bisher" - also "zugehört" hast Du mir
nicht wirklich!
Also auf ein Neues:
Ich schreib's jetzt mal, soweit das geht, so, wie Du es auch aufschreiben
würdest, auf, aber ich mach' am Ende vor allem dann die "Logikrichtungen"
in der Beweisführung richtig, so dass, im Gegensatz zu Deinen "Versuchen",
auch wirklich der Beweis richtig dort steht.
Es war also [mm] $v_0:=0$ [/mm] und [mm] $v_{n+1}:=\frac{v_n}{2}+\frac{1}{2}\,,$ [/mm] für $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Zu beweisen ist, dass für alle $n [mm] \in \red{\;\IN\;}$ [/mm] auch
[mm] $$v_n \in [/mm] (0,1)$$
gilt.
Beweis: I.A:.Für [mm] $n=1\,$ [/mm] ist [mm] $v_1=0/2+1/2=1/2$ [/mm] und damit $0 < [mm] v_1=1/2 [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] also [mm] $v_n \in (0,1)\,,$ [/mm] wahr.
I.S.: $n [mm] \to [/mm] n+1:$ Wir setzen nun voraus, dass [mm] $v_n \in [/mm] (0,1)$ für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelte. (VORAUSSETZUNG!!)
Wir wollen zeigen, dass dann auch [mm] $v_{n+1} \in [/mm] (0,1)$ gelten muss. Dazu rechnen wir zunächst:
Es gilt (man beachte [mm] $v_{n+1}=v_n/2+1/2$ [/mm] gilt für unser $n [mm] \in \IN$)
[/mm]
[mm] $$v_{n+1} \in [/mm] (0,1)$$
[mm] $$\iff \frac{v_n}{2}+\frac{1}{2} \in [/mm] (0,1)$$
[mm] $$\iff [/mm] 0 < [mm] \frac{v_n}{2}+\frac{1}{2} [/mm] < 1$$
[mm] $$\iff -\frac{1}{2} [/mm] < [mm] \frac{v_n}{2} [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$$
[/mm]
[mm] $$\iff [/mm] -1 < [mm] v_n [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Es reicht also, zu zeigen, dass für [mm] $v_n \in [/mm] (0,1)$ (das gilt nach VORAUSSETZUNG)
auch
$$-1 < [mm] v_n [/mm] < 1$$
gilt. Wegen $(0,1) [mm] \subseteq (-1,1)\,$ [/mm] gilt aber eben [mm] $v_n \in [/mm] (0,1) [mm] \Longrightarrow v_n \in [/mm] (-1,1) [mm] \iff [/mm] -1 < [mm] v_n [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
(So, hier wäre der Beweis eigentlich zu Ende, man würde sagen: Aus der
Voraussetzung [mm] $v_n \in [/mm] (0,1)$ folgt insbesondere $-1 < [mm] v_n [/mm] < 1$ und dann die Behauptung
[mm] $v_{n+1} \in [/mm] (0,1)$ durch Lesen der Umformungen von unten nach oben unter Benutzung
der Folgerungsrichtungen [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] bei den [mm] $\iff$'s. [/mm] Damit das aber auch
mal wirklich dann so da steht, wie man es danach dann - etwa für
'Publikum' - aufschreiben würde, schreibe ich nun genau alles das zusammen,
was man bei dem Beweis benutzt. Einfach, damit das mal wirklich ganz
klar wird:)
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Zusammenschrieb der eigentlichen Beweisführung im Induktionsschritt:
Die Aussage $0 < [mm] v_n [/mm] < [mm] 1\,$ [/mm] ist wegen [mm] $v_n \in [/mm] (0,1)$ (VORAUSSETZUNG) wahr. Es gilt
$$0 < [mm] v_n [/mm] < 1$$
[mm] $$\Longrightarrow\;\;\;\; [/mm] -1 < [mm] v_n [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
[mm] $$\Longrightarrow\;\;\;\; -\frac{1}{2} [/mm] < [mm] \frac{v_n}{2} [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$$
[/mm]
[mm] $$\Longrightarrow\;\;\;\; -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\;=\;0 \;\;<\;\; \frac{v_n}{2}+\frac{1}{2} \;\;<\;\; \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\;=\;1$$
[/mm]
[mm] $$\Longrightarrow\;\;\;\; [/mm] 0 < [mm] v_{n+1} [/mm] < 1$$
[mm] $$\Longrightarrow\;\;\;\; v_{n+1} \in (0,1)\,.$$
[/mm]
(Die Folgerungskette oben zeigt also: Wenn $0 < [mm] v_n [/mm] < 1$ wahr ist, dann muss
auch [mm] $v_{n+1} \in [/mm] (0,1)$ wahr sein. WEIL aber $0 < [mm] v_n [/mm] < 1$ wahr ist (Induktions-Voraussetzung
im Induktionsschritt!), erhalten wir, dass auch [mm] $v_{n+1} \in [/mm] (0,1)$ wahr sein muss!)
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Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:17 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Wir betrachten die Folge [mm](v_{n})n\in\IN_{0},[/mm] definiert
> durch
>
> [mm]v_{0}[/mm] = 0, [mm]v_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{v_{n}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
>
> Zeigen Sie durch vollständige Induktion: [mm]\forall n\in\IN[/mm]
> gilt: [mm]v_{n} \in[/mm] (0,1)
>
> b) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm]e_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{3^{n+1}+2^{2}}{3^{n}+1}.[/mm]
> Geben Sie die von Ihnen verwendeten Rechenregeln \ Sätze
> für Folgen an.
> a) Meine Idee war erstmal zu zeigen, dass Monotonie
> herrscht:
>
> [mm]v_{n+1}[/mm] - [mm]v_{n}[/mm] > 0
>
> [mm]\Rightarrow v_{n+1}[/mm] > [mm]v_{n}[/mm]
das kannst Du hier schon vergessen. Wenn Du zeigen willst, dass eine
Aussage [mm] $A\,$ [/mm] gilt, dann kannst Du nicht sagen: "Wenn [mm] $A\,$ [/mm] gilt, dann folgt
... und es entsteht kein Widerspruch" oder sowas. Du musst aus der
Gültigkeit einer wahren Aussagen folgern, dass [mm] $A\,$ [/mm] gilt.
So könnte man bei Deiner Behauptung etwa vorgehen:
Wir zeigen, dass [mm] $(v_n)_n$ [/mm] streng monoton wachsend ist! (Warum auch
immer Du das eigentlich tun willst).
Es gilt
[mm] $$v_{n+1} [/mm] > [mm] v_n \iff \frac{v_n}{2}+\frac{1}{2} [/mm] > [mm] v_n \iff v_n [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Deswegen reicht es nun zu zeigen, dass (für alle $n [mm] \in \IN_0$) [/mm] auch [mm] $v_n [/mm] < 1$ gilt,
denn dann kannst Du die Folgerungen [mm] $\Longleftarrow$'s [/mm] in den [mm] $\iff$'s [/mm] von oben benutzen,
und der Beweis sieht dann (bspw.) so aus (sehr knapp):
Da [mm] $v_n [/mm] < 1$ für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt (das muss aber auch noch bewiesen werden;
bislang haben wir das ja nirgends getan!), folgt für alle $n [mm] \in \IN_0$
[/mm]
[mm] $$v_n [/mm] < 1 [mm] \Longrightarrow \frac{v_n}{2}+\frac{1}{2} [/mm] > [mm] v_n \Longrightarrow v_{n+1} [/mm] > [mm] v_n\,. [/mm] $$
Ist Dir klar, dass alleine schon "Deine Beweisrichtung" falsch war? Wenn
ich sage:
Für [mm] $x=3\,$ [/mm] will ich gerne [mm] $x^2=9$ [/mm] beweisen, dann geht das doch so:
$$x=3 [mm] \Longrightarrow x^2=x*x=3*3=9\,.$$ [/mm]
Und nicht:
[mm] $$x^2=9 \Longrightarrow x^2-9=0 \Longrightarrow (x+3)*(x-3)=0\,.$$
[/mm]
Das passt doch auch nicht zu dem, was ich zeigen will. Ich zeige so nur:
Wenn [mm] $x^2=9$ [/mm] ist, dann muss notwendig [mm] $x=3\,$ [/mm] oder [mm] $x=-3\,$ [/mm] sein.
Das interessiert mich aber doch gar nicht, ich will zeigen: Es ist hinreichend,
[mm] $x=3\,$ [/mm] zu wissen, um [mm] $x^2=9$ [/mm] folgern zu dürfen!
Ansonsten wurde Dir ja nun schon gesagt, dass Du diesen Teil komplett
neu machen solltest und einen Induktionsbeweis führen sollst. Gemäß
der Aufgabenformulierung gilt bei Euch übrigens sicher auch $0 [mm] \notin \IN$!
[/mm]
> b)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^{n+1}+2^{\red{2}}}{3^{n}+1}[/mm]
Also wenn da anstatt [mm] $2^2$ [/mm] halt [mm] $2^n$ [/mm] steht, macht das Folgende Sinn.
Was steht nun in der Aufgabe?
> Ersteinmal klammer ich [mm]3^{n}[/mm] im Zähler und im Nenner aus.
> Dementsprechend kann ich kürzen.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3+\bruch{2^{n}}{3^{n}}}{1+\bruch{1}{3^{n}}}[/mm]
>
> I. Quotientenfolge:
>
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}3+\bruch{2^{n}}{3^{n}}}{\limes_{n\rightarrow\infty}\red{\;2\;}+\bruch{1}{3^{n}}}[/mm]
Woher kommt die rote 2 nun? Da bleibt eine 1 stehen!
> II. Summen und Differenzfolge:
>
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(3)+\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2^{n}}{3^{n}})}{\limes_{n\rightarrow\infty}(2)+\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{3^{n}})}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2^{n}}{3^{n}}[/mm] und [mm]\bruch{1}{3^{n}}[/mm] sind Nullfolgen.
Warum ist denn eigentlich [mm] $(2^n/3^n)_n$ [/mm] eine Nullfolge? Dass [mm] $(1/3^n)_n$ [/mm] eine
ist, könnte ich ja auch mal einfach so glauben - noch schöner wäre es
natürlich, wenn Du das auch beweisen könntest. Aber wichtig finde ich es vor
allem, dass Du beweisen kannst, dass [mm] $2^n/3^n=(2/3)^n \to [/mm] 0$ gilt!
> 3 und 2 sind natürlich konstante Folgen.
So nebenbei: Eigentlich ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge, und [mm] $a_n$ [/mm] ist das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgenglied
der Folge [mm] $(a_n)_n\,.$ [/mm] Nichtsdestotrotz ist es gängig, dass man so, wie Du
es hier machst, von "der Folge [mm] $a_n$" [/mm] redet. Ich mache das (fast) nie, aber
wenn man es macht, sollte man wenigstens wissen, dass das formal
eigentlich falsch ist, das so zu sagen! Es "verkürzt" halt manchmal etwas
die Formulierungen, anstatt "Sei die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=(1+1/n)^n$ [/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$..." [/mm] sagt man halt etwa kurz: "Wir betrachten die Folge [mm] $a_n:=(1+1/n)^n$..."
[/mm]
> Also ist der Grenzwert 3 halbe.
Wenn Du den Fehler korrigierst (rote [mm] $2\,$ [/mm] im Nenner), wirst Du sehen, dass
[mm] $3\,$ [/mm] rauskommt - sofern anstatt der [mm] $2^2$ [/mm] auch am Anfang der Folge auch [mm] $2^n$ [/mm] im Zähler steht!
> Was mich an dieser Aufgabe verwirrt ist, dass ich
> Rechengesetze und Sätze angeben soll. Ich hab jetzt diese
> Punkte I. und II. angegeben. Hättet ihr es präziser
> gemacht?
Du hast "wenig" inhaltlich gesagt, aber so schlimm finde ich das nicht, was
Du gemacht hast. Du wendest hier schon die richtigen Gesetze an, aber
Du benennst sie nicht richtig und NICHT VOLLSTÄNDIG. (Das ist der eigentliche
Kritikpunkt hier - die 'fehlende Vollständigkeit beim Benennen der
Gesetze'! Nicht umsonst spricht man ja auch von "Rechengesetzen für
KONVERGENTE Folgen!")
Außerdem müsste man, wenn man das richtig macht, das Ganze am
Besten von rechts nach links lesen und begründen, auch, wenn Du es
andersherum gerechnet hast. "Schlimm" finde ich allerdings zudem die
fehlenden Gleichheitszeichen!
Vielleicht schreibst Du das nochmal neu hin, und damit Du etwas zur
Orientierung hast, machen wir mal ein anderes Beispiel:
Betrachten wir [mm] $a_n=\frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+2}\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+2}=\frac{\lim_{n \to \infty}(1+\tfrac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(\tfrac{1}{n^2}+2)}=\frac{(\lim_{n \to \infty}1)+(\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n})}{(\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n^2})+(\lim_{n \to \infty}2)}=\frac{1+0}{0+2}=\frac{1}{2}\,.$$
[/mm]
Begründungen:
1.) [mm] $\frac{1}{2}=\frac{1+0}{0+2}$
[/mm]
ist klar.
2.) [mm] $\frac{1+0}{0+2}=\frac{(\lim_{n \to \infty}1)+(\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n})}{(\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n^2})+(\lim_{n \to \infty}2)}$
[/mm]
ist auch klar, weil [mm] $1/n,\;1/n^2 \to [/mm] 0$ und $1 [mm] \to [/mm] 1$ und $2 [mm] \to [/mm] 2$ jeweils bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
3.) [mm] $\frac{(\lim_{n \to \infty}1)+(\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n})}{(\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n^2})+(\lim_{n \to \infty}2)}=\frac{\lim_{n \to \infty}(1+\tfrac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(\tfrac{1}{n^2}+2)}$
[/mm]
Hier wurde im Zähler Satz 5.5 1. (klick!) angewendet: Weil die Folge [mm] $(1)_n$ [/mm] konvergent
ist und weil [mm] $(1/n)_n$ [/mm] konvergent ist, konvergiert auch [mm] $(1+1/n)_n$ [/mm] und zwar
gegen die Summe der beiden Grenzwerte der zuvor erwähnten Folgen!
Analoges wurde im Nenner gemacht - beachte auch, dass der Nenner
dabei "nicht zu Null gemacht werden konnte". (Schreib' diese Überlegungen
die ich ja nun für den Nenner nicht detailliert aufgeschrieben habe, ruhig
mal selbst hier dazu, damit wir sehen, ob Du das verstanden hast)!
4.) [mm] $\frac{\lim_{n \to \infty}(1+\tfrac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(\tfrac{1}{n^2}+2)}=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+2}$
[/mm]
wird mit Satz 5.5. 3. begründet. Was bei Dir vor allem schlecht war:
Anstatt nur "Differenzenfolge" musst Du wenigstens sowas sagen wie
"Differenzenfolge zweier KONVERGENTER Folgen (wobei die 'Nennerfolge'
KEINE Nullfolge ist)" - also wie gesagt: FEHLENDE VOLLSTÄNDIGKEIT BEI DER
BENNENUNG DER RECHENGESETZE!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 25.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
Ich probier das mit den Grenzwert mal an einem anderen Therm.
[mm] \bruch{n^{2}cos(n^2)+2n^{3}}{nsin(n)+n^{3}}
[/mm]
Umformen:
[mm] \bruch{n^{2}cos(n^2)+2n^{3}}{nsin(n)+n^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{n^{3}(\bruch{cos(n^{2})}{n}+2)}{n^{3}(\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1} [/mm]
Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1} [/mm] = [mm] \bruch{(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{cos(n^{2})}{n})+(\limes_{n\rightarrow\infty}2)}{(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(n)}{n^{2}})+(\limes_{n\rightarrow\infty}1)} [/mm] = [mm] \bruch{0 + 2}{0 + 1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1} [/mm] = 2
sin(n) = [mm] \pm [/mm] 1
cos(n) = [mm] \pm [/mm] 1
Für beliebige Winkel wird der Wert der Sinus-Funktion als y-Koordinate und der der Kosinus-Funktion als x-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis benutzt.
[mm] \Rightarrow \bruch{cos(n^{2})}{n} \Rightarrow \bruch{\pm 1}{n} [/mm] = 0 für n [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{sin(n)}{n^{2}} \Rightarrow \bruch{\pm 1}{n^{2}} [/mm] = 0 für n [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{cos(n^{2})}{n}+2)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1)} =\bruch{(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{cos(n^{2})}{n})+(\limes_{n\rightarrow\infty}2)}{(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(n)}{n^{2}})+(\limes_{n\rightarrow\infty}1)}
[/mm]
Der Grenzwert einer Summe(Produkt) von konvergenten Folgen [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] ist gleich der Summe(Produkt) der einzelnen Grenzwerte.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n}) [/mm] = a + b (= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n})
[/mm]
In einen Bruch [mm] \bruch{p}{q} [/mm] (wie hier) muss natürlich q != 0. Ich kann z.b 5 cent nicht unter 0 Leute verteilen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1} [/mm]
Wenn [mm] \bruch{p}{q} [/mm] mit q != 0 so gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}/b_{n}) [/mm] = [mm] a/b(=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] / [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 25.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich probier das mit den Grenzwert mal an einem anderen
> Therm.
>
> [mm]\bruch{n^{2}cos(n^2)+2n^{3}}{nsin(n)+n^{3}}[/mm]
>
> Umformen:
> [mm]\bruch{n^{2}cos(n^2)+2n^{3}}{nsin(n)+n^{3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^{3}(\bruch{cos(n^{2})}{n}+2)}{n^{3}(\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1}[/mm]
>
>
> Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{cos(n^{2})}{n})+(\limes_{n\rightarrow\infty}2)}{(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(n)}{n^{2}})+(\limes_{n\rightarrow\infty}1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{0 + 2}{0 + 1}[/mm] = [mm]\bruch{2}{1}[/mm] = 2
>
>
>
> sin(n) = [mm]\pm[/mm] 1
> cos(n) = [mm]\pm[/mm] 1
Das stimmt so nicht. Ich denke Du meinst |sin(n)| [mm] \le [/mm] 1 und |cos(n)| [mm] \le [/mm] 1 für alle n.
> Für beliebige Winkel wird der Wert der Sinus-Funktion als
> y-Koordinate und der der Kosinus-Funktion als x-Koordinate
> eines Punktes am Einheitskreis benutzt.
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{cos(n^{2})}{n} \Rightarrow \bruch{\pm 1}{n}[/mm]
> = 0 für n [mm]\rightarrow \infty[/mm]
Die Schreibweise ist grauenhaft !
Es ist [mm] |\bruch{cos(n^{2})}{n}| \le \bruch{1}{n} [/mm] für alle n, also:
[mm] \bruch{cos(n^{2})}{n} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{sin(n)}{n^{2}} \Rightarrow \bruch{\pm 1}{n^{2}}[/mm]
> = 0 für n [mm]\rightarrow \infty[/mm]
S.o.
>
>
>
>
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{cos(n^{2})}{n}+2)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1)} =\bruch{(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{cos(n^{2})}{n})+(\limes_{n\rightarrow\infty}2)}{(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(n)}{n^{2}})+(\limes_{n\rightarrow\infty}1)}[/mm]
>
> Der Grenzwert einer Summe(Produkt) von konvergenten Folgen
> [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] ist gleich der Summe(Produkt) der einzelnen
> Grenzwerte.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})[/mm] = a + b (=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n})[/mm]
>
> In einen Bruch [mm]\bruch{p}{q}[/mm] (wie hier) muss natürlich q !=
> 0. Ich kann z.b 5 cent nicht unter 0 Leute verteilen.
ich schon. Wenn ich 5 Cent unter 0 Leuten verteilen soll, behalte ich das Geld.
>
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{cos(n^{2})}{n}+2}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{sin(n)}{n^{2}}+1}[/mm]
>
> Wenn [mm]\bruch{p}{q}[/mm] mit q != 0 so gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}/b_{n})[/mm] =
> [mm]a/b(=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] /
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n})[/mm]
Jo
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Do 25.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> > In einen Bruch [mm]\bruch{p}{q}[/mm] (wie hier) muss natürlich q !=
> > 0.
Für welches q war doch q! (q Fakultät) doch gleich Null? Ich komm nicht drauf...
> > Ich kann z.b 5 cent nicht unter 0 Leute verteilen.
>
> ich schon. Wenn ich 5 Cent unter 0 Leuten verteilen soll,
> behalte ich das Geld.
Dann wäre das ja endlich geklärt. Verteilt man 5 Cent auf 5 Leute, bekommt jeder [mm] \tfrac{5}{5}=1 [/mm] Cent. Verteilt man auf 2 Leute, bekommt jeder [mm] \tfrac{5}{2}=2,5 [/mm] Cent (vermutlich Buchgeld). Bei einem Leut also [mm] \tfrac{5}{1}=5 [/mm] Cent.
Und bei 0 Leuten gibts dann [mm] \tfrac{5}{0}=0 [/mm] Cent, was ja schon aus [mm] 0^2=5 [/mm] folgt. Dann wäre das auch endlich geklärt.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
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> > > In einen Bruch [mm]\bruch{p}{q}[/mm] (wie hier) muss natürlich q
> !=
> > > 0.
>
> Für welches q war doch q! (q Fakultät) doch gleich Null?
> Ich komm nicht drauf...
>
> > > Ich kann z.b 5 cent nicht unter 0 Leute verteilen.
> >
> > ich schon. Wenn ich 5 Cent unter 0 Leuten verteilen
> soll,
> > behalte ich das Geld.
>
> Dann wäre das ja endlich geklärt. Verteilt man 5 Cent auf
> 5 Leute, bekommt jeder [mm]\tfrac{5}{5}=1[/mm] Cent. Verteilt man
> auf 2 Leute, bekommt jeder [mm]\tfrac{5}{2}=2,5[/mm] Cent
> (vermutlich Buchgeld). Bei einem Leut also [mm]\tfrac{5}{1}=5[/mm]
> Cent.
>
> Und bei 0 Leuten gibts dann [mm]\tfrac{5}{0}=0[/mm] Cent, was ja
> schon aus [mm]0^2=5[/mm] folgt. Dann wäre das auch endlich
> geklärt.
$$5 [mm] \text{ Cent}/0=\text{Gottes Eigentum}$$
[/mm]
achne... Fred's, denn der behält ja das Geld. Aber irgendwie wundert mich
das jetzt doch, denn wenn $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to \emptyset$ [/mm] eine Abbildung ist, so kann nur
[mm] $X=\emptyset$ [/mm] sein. Daraus folgt [mm] $\{5 \text{ Cent}\}=\emptyset\,.$ [/mm] Dann mal her damit: Ich sammle die [mm] $\emptyset$'s [/mm] ^^
(Oder ist hier [mm] $f\,$ [/mm] doch keine Abbildung? Fragen wir mal Gott...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Do 25.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
ich habe die Anfrage weitergeleitet.
Bisher kam allerdings nur eine Abwesenheitsnotiz.
Ist die Abbildung eigentlich bijektiv? Ich meine, kann ich auch bei leerem Portemonnaie (neuerdings: Portmonee, echte Vereinfachung) meine Schulden wenigstens in 5-Cent-Stücken bezahlen?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Do 25.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Hallo rev, hallo Marcel,
was macht Ihr da für ein Gedöns ?
Stellt Euch vor Ihr habt 5 Cent, habt aber keinen Menschen, dem Ihr was geben könnt, was macht Ihr dann ? Ja, Ihr spült das Geld im Klo runter.
ich mach das ganz anderster: ich spare , und zwar so lange, bis ich mir eine Flasche Riesling kaufen kann. Die spüle ich dan die Kehle runter.
FRED
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> ich mach das ganz anderster: ich spare , und zwar so lange,
> bis ich mir eine Flasche Riesling kaufen kann. Die spüle
> ich dann die Kehle runter.
Die (Flasche) ???
Aber nein auch !
Ich würde dann schon eher den (Riesling - oder noch
lieber etwa einen Grauburgunder) genießen ...
Gruß , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Do 25.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > ich mach das ganz anderster: ich spare , und zwar so lange,
> > bis ich mir eine Flasche Riesling kaufen kann. Die spüle
> > ich dann die Kehle runter.
>
>
> Die (Flasche) ???
>
> Aber nein auch !
Hallo Al,
jetzt ist mir klar, warum mir die letzt Flasche Riesling nicht bekommen ist !
Vielen Dank !
FRED
>
> Ich würde dann schon eher den (Riesling - oder noch
> lieber etwa einen Grauburgunder) genießen ...
>
> Gruß , Al
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Do 25.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> > > bis ich mir eine Flasche Riesling kaufen kann. Die spüle
> > > ich dann die Kehle runter.
> >
> >
> > Die (Flasche) ???
> >
> > Aber nein auch !
>
> Hallo Al,
>
> jetzt ist mir klar, warum mir die letzt Flasche Riesling
> nicht bekommen ist !
>
> Vielen Dank !
Vielleicht sollten wir diesen Teil des Threads ins Altglasforum verlegen. Da, wo wir neulich die Bekömmlichkeit von Antipastitellern auch hatten. Womöglich braucht es einen neuen Namen. Außerdem liegt es unter "Axiomatischer Digestologie" auch ziemlich unauffindbar.
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 25.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> Hallo rev, hallo Marcel,
>
> was macht Ihr da für ein Gedöns ?
philosophieren!
Gruß,
Marcel
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> > auch bei leerem Portemonnaie (neuerdings:
> > Portmonee, echte Vereinfachung)
Wenn's denn schon "vereinfacht" werden soll,
dann hätte ich da noch einen viel besseren
Vorschlag:
statt "Portmonee" doch lieber gerade ein "Portnomee"
zergliedert: porte - no(ch) - meh(r) !
(nimmt man das Portnomee aus der Hosentasche,
so ist jeweils mehr drin, als vorher drin war ...)
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Do 25.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > auch bei leerem Portemonnaie (neuerdings:
> > > Portmonee,
> echte Vereinfachung)
>
>
> Wenn's denn schon "vereinfacht" werden soll,
> dann hätte ich da noch einen viel besseren
> Vorschlag:
>
> statt "Portmonee" doch lieber gerade ein "Portnomee"
Wenn ich meine Geldbörse anschaue, fällt mir nur ein: Portnixmee
FRED
>
> zergliedert: porte - no(ch) - meh(r) !
>
> (nimmt man das Portnomee aus der Hosentasche,
> so ist jeweils mehr drin, als vorher drin war ...)
>
>
> LG , Al
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> > > In einem Bruch [mm]\bruch{p}{q}[/mm] (wie hier) muss natürlich q != 0 sein.
> Für welches q war doch q! (q Fakultät) doch gleich Null?
> Ich komm nicht drauf...
Hallo reverend , Fred etc.
man muss hier nur die Schreibweise von Maurizz
ganz genau betrachten. Er schreibt
nicht q! = 0
sondern q != 0
Das "Ausrufzeichen" klebt also nicht hinten an dem q,
sondern vorne am Gleichheitszeichen. Also nix von
"q-Fakultät", stattdessen sowas wie "hoppla-gleich",
was bedeuten soll "eben gerade nicht gleich".
Welches Ar... me Kerlchen allerdings darauf gekommen
ist, das Ausrufezeichen als Symbol für die logische
Negation in die Welt einiger Programmiersprachen
einzuführen, ist mir leider nicht bekannt ...
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > > > In einem Bruch [mm]\bruch{p}{q}[/mm] (wie hier) muss natürlich q
> != 0 sein.
>
>
> > Für welches q war doch q! (q Fakultät) doch gleich Null?
> > Ich komm nicht drauf...
>
>
> Hallo reverend , Fred etc.
>
> man muss hier nur die Schreibweise von Maurizz
> ganz genau betrachten. Er schreibt
>
> nicht q! = 0
>
> sondern q != 0
>
> Das "Ausrufzeichen" klebt also nicht hinten an dem q,
> sondern vorne am Gleichheitszeichen. Also nix von
> "q-Fakultät", stattdessen sowas wie "hoppla-gleich",
> was bedeuten soll "eben gerade nicht gleich".
ich glaube, reverend hatte das schon bemerkt und es war und ist ihm
bewußt. Er meinte das als "Scherzfrage".
Und dennoch: so ganz unsinnig ist die nicht: Man sagt ja auch nicht
[mm] $3*\;\;\;\;4+5$ [/mm] ist das Gleiche wie [mm] $3*(4+5)\,,$ [/mm] denn die Leerstellen machen den
Zusammenhang kenntlich...
(Und so nebenbei: Man könnte sich vielleicht dran stören, dass jemand
sagt, dass aber [mm] $q!\,$ [/mm] für $q [mm] \in \red{\text{--}}\;\IN$ [/mm] i.a. nicht existiert, auch nicht bzgl. der
Gammafunktion als verallgemeinerte Fakultät. Aber man kann auch sagen,
dass man [mm] $p/q\,$ [/mm] mit $p [mm] \in \IZ$ [/mm] und $q [mm] \in \IN$ [/mm] oben stets auffassen will...
Wie dem auch sei: Es war extra etwas "spaßig vom Thema weggelenkt"!)
> Welches Ar... me Kerlchen allerdings darauf gekommen
> ist, das Ausrufezeichen als Symbol für die logische
> Negation in die Welt einiger Programmiersprachen
> einzuführen, ist mir leider nicht bekannt ...
Welches würdest Du denn vorschlagen? (Würde mich einfach mal
interessieren!)
Gruß,
Marcel
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> > Welches Ar... me Kerlchen allerdings darauf gekommen
> > ist, das Ausrufezeichen als Symbol für die logische
> > Negation in die Welt einiger Programmiersprachen
> > einzuführen, ist mir leider nicht bekannt ...
>
> Welches würdest Du denn vorschlagen? (Würde mich einfach
> mal interessieren!)
Hallo Marcel,
mir ist auch klar, dass es wohl eines der Zeichen sein
sollte, das auch schon auf den alten Klapper-Schreib-
maschinen verfügbar war, und da war die Auswahl ja
nicht so groß.
Hier auf meiner Tastatur erhalte ich aber z.B. das
Standard-Symbol ¬ für die logische Negation
mittels alt-L !
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> > > Welches Ar... me Kerlchen allerdings darauf gekommen
> > > ist, das Ausrufezeichen als Symbol für die logische
> > > Negation in die Welt einiger Programmiersprachen
> > > einzuführen, ist mir leider nicht bekannt ...
> >
> > Welches würdest Du denn vorschlagen? (Würde mich einfach
> > mal interessieren!)
>
>
> Hallo Marcel,
>
> mir ist auch klar, dass es wohl eines der Zeichen sein
> sollte, das auch schon auf den alten Klapper-Schreib-
> maschinen verfügbar war, und da war die Auswahl ja
> nicht so groß.
> Hier auf meiner Tastatur erhalte ich aber z.B. das
> Standard-Symbol ¬ für die logische Negation
> mittels alt-L !
auf meiner Tastatur (Laptop) funktioniert das nicht. Und irgendwie
habe ich nun meine Tastatur wohl auf Englisch umgestellt ^^
(Witzig, das funktioniert mit Shift+Alt ^^)
LG,
Marcel
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