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| Aufgabe | | Zu Beweisen ist [mm] (a+b)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n-i} [/mm] |
Wir haben in der Schule den Beweis mit der vollständigen Induktion über den Induktionsanfang n=0 gemacht.
Da mir gesagt wurde, dass man im Studium häufig vollständige Induktionen zu machen habe, habe ich mir den Beweis nun vor Studienbeginn noch einmal herausgesucht und abgeschrieben. Dabei sind mir einige Fragen gekommen. Ehrlich gesagt hab ich alles vergessen, ich versteh's überhaupt nicht mehr. Deshalb wollte ich Euch bitten, ob Ihr mir das noch mal erklären könnt? Aber schön einfach für Dummies bitte :)!
Hier unser Beweis:
[mm] 1=(a+b)^{0}=\summe_{i=0}^{0}\vektor{0 \\ i}a^{i}b^{0-i}
[/mm]
[mm] =\vektor{0 \\ 0}a^{0}b^{0-0}=1
[/mm]
Das ist größtenteils noch klar. Man setzt n=0 und das dann in den zu beweisenden Teil ein. Weil der Anfang bei i=0 liegt, setzt man dann darin auch i=0. Das Summenzeichen fällt weg, weil es [mm] \summe_{i=0}^{0} [/mm] wäre, also gar keine. Richtig?
Induktionsschritt von n auf n+1
[mm] (a+b)^{n+1}=(a+b)^{n}(a+b)
[/mm]
[mm] =(\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n-i})(a+b)
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-i}+\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}
[/mm]
[mm] =\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+\vektor{n \\ n}a^{n+1}b^{0}+\summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-1}+\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}
[/mm]
Hier beginnen meine ersten Fragen. Ich weiß überhaupt nicht mehr, warum man von n auf n+1 gehen muss. Um zu zeigen, dass der Beweis von oben für alle n gilt? War's das?
Der Anfang ist dann klar, das (a+b) wird ausmultipliziert, deshalb tauchen dann in der nächsten Zeile die [mm] a^{i+1} [/mm] bzw. [mm] b^{n+1-i} [/mm] auf. Aber die Zeile danach verstehe ich nicht mehr. Beim ersten Summanden handelt es sich um den eben noch zweiten Teil mit i=0 eingesetzt. Aber warum? Und warum ohne Summenzeichen? Und dann den eben ersten Teil mit i=n. Wieder die gleichen Fragen: Warum? Und wo ist das Summenzeichen? Und dann wird noch mal das gleiche wie eben addiert, nur einmal bis n-1 und einmal ab i=1. Das versteh ich nicht mehr... Was haben wir da gemacht gehabt? Kann mir das mal irgendjemand erklären, bitte?
Indexverschiebung:
j:=i+1 (bzw. j-1=i)
eben: [mm] \summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-i}
[/mm]
nun: [mm] \summe_{j=1}^{n}\vektor{n \\ j-1}a^{j-1+1}b^{n-(j-1)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow =\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}+\vektor{n \\ i-1}a^{i}b^{n+1-i}+\vektor{n \\ n}a^{n+1}b^{0}
[/mm]
[mm] =\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+(\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}+\vektor{n \\ i-1}a^{i}b^{n+1-i})+\vektor{n \\ n}a^{n+1}b^{0}
[/mm]
nun: [mm] =\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+(\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}+\vektor{n \\ i-1}a^{i}b^{n+1-i})+\vektor{n+1 \\ n+1}a^{n+1}b^{0}
[/mm]
[mm] =\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+(\summe_{i=1}^{n}\vektor{n+1 \\ i}a^{i}b^{n+1-i})+\vektor{n+1 \\ n+1}a^{n+1}b^{0}
[/mm]
nun: [mm] =\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{(n+1)-i}=(a+b)^{n+1}
[/mm]
So, und das hab ich natürlich überhaupt nicht mehr verstanden... Also es wird ein j definiert, am Anfang, in Abhängigkeit von i. Das ist klar. Die so veränderte Schreibweise von eben zu nun ist ebenfalls klar. Warum ausgerechnet mit diesem Term nicht, aber das ist auch nicht so wichtig, oder? Aber danach taucht in der gesamten Rechnung kein j auf! Oder wird das, was als j definiert wurde, jetzt halt als i geschrieben? Und die Umformungen danach hab ich auch nicht mehr verstanden... Wo das alles herkommt und warum das so geändert wird. Keine Ahnung. Und zwischendurch, warum plötzlich statt [mm] \vektor{n \\ n} \vektor{n+1 \\ n+1} [/mm] genommen wird, hab ich auch nicht verstanden. Das Ende ist klar, aber leider nicht, wie man dahin kommt...
Ich wär Euch also echt dankbar, wenn Ihr mir das möglichst kleinschrittig und für Dummies mal erklären könntet. Als wir das damals im Unterricht abgeschrieben haben, hat unser Lehrer mir alles klar erklärt, aber ich hab's, blöd wie ich bin, wieder vergessen :(.
Ich hoffe, ich bin trotzdem nicht zu blöd für's Mathestudium und werde nicht (wie unser Lehrer es uns allen vor'm Abi prophezeit hat) "untergehn wien Stein"... ;)
Danke im Voraus und liebe Grüße,
Kathilisabeth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Mi 09.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Zu Beweisen ist [mm](a+b)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n-i}[/mm]
>
> Wir haben in der Schule den Beweis mit der vollständigen
> Induktion über den Induktionsanfang n=0 gemacht.
> Da mir gesagt wurde, dass man im Studium häufig
> vollständige Induktionen zu machen habe, habe ich mir den
> Beweis nun vor Studienbeginn noch einmal herausgesucht und
> abgeschrieben. Dabei sind mir einige Fragen gekommen.
> Ehrlich gesagt hab ich alles vergessen, ich versteh's
> überhaupt nicht mehr. Deshalb wollte ich Euch bitten, ob
> Ihr mir das noch mal erklären könnt? Aber schön einfach
> für Dummies bitte :)!
>
> Hier unser Beweis:
>
>
> [mm]1=(a+b)^{0}=\summe_{i=0}^{0}\vektor{0 \\ i}a^{i}b^{0-i}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{0 \\ 0}a^{0}b^{0-0}=1[/mm]
>
> Das ist größtenteils noch klar. Man setzt n=0 und das
> dann in den zu beweisenden Teil ein. Weil der Anfang bei
> i=0 liegt, setzt man dann darin auch i=0. Das Summenzeichen
> fällt weg, weil es [mm]\summe_{i=0}^{0}[/mm] wäre, also gar keine.
> Richtig?
>
>
> Induktionsschritt von n auf n+1
> [mm](a+b)^{n+1}=(a+b)^{n}(a+b)[/mm]
> [mm]=(\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n-i})(a+b)[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-i}+\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+\vektor{n \\ n}a^{n+1}b^{0}+\summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-1}+\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}[/mm]
>
> Hier beginnen meine ersten Fragen. Ich weiß überhaupt
> nicht mehr, warum man von n auf n+1 gehen muss. Um zu
> zeigen, dass der Beweis von oben für alle n gilt? War's
> das?
> Der Anfang ist dann klar, das (a+b) wird ausmultipliziert,
> deshalb tauchen dann in der nächsten Zeile die [mm]a^{i+1}[/mm]
> bzw. [mm]b^{n+1-i}[/mm] auf. Aber die Zeile danach verstehe ich
> nicht mehr. Beim ersten Summanden handelt es sich um den
> eben noch zweiten Teil mit i=0 eingesetzt. Aber warum? Und
> warum ohne Summenzeichen? Und dann den eben ersten Teil mit
> i=n. Wieder die gleichen Fragen: Warum? Und wo ist das
> Summenzeichen? Und dann wird noch mal das gleiche wie eben
> addiert, nur einmal bis n-1 und einmal ab i=1. Das versteh
> ich nicht mehr... Was haben wir da gemacht gehabt? Kann mir
> das mal irgendjemand erklären, bitte?
>
>
> Indexverschiebung:
> j:=i+1 (bzw. j-1=i)
>
> eben: [mm]\summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-i}[/mm]
> nun:
> [mm]\summe_{j=1}^{n}\vektor{n \\ j-1}a^{j-1+1}b^{n-(j-1)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow =\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}+\vektor{n \\ i-1}a^{i}b^{n+1-i}+\vektor{n \\ n}a^{n+1}b^{0}[/mm]
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> [mm]=\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+(\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}+\vektor{n \\ i-1}a^{i}b^{n+1-i})+\vektor{n \\ n}a^{n+1}b^{0}[/mm]
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> nun: [mm]=\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+(\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}+\vektor{n \\ i-1}a^{i}b^{n+1-i})+\vektor{n+1 \\ n+1}a^{n+1}b^{0}[/mm]
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> [mm]=\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+(\summe_{i=1}^{n}\vektor{n+1 \\ i}a^{i}b^{n+1-i})+\vektor{n+1 \\ n+1}a^{n+1}b^{0}[/mm]
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> nun: [mm]=\summe_{i=0}^{n+1}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{(n+1)-i}=(a+b)^{n+1}[/mm]
>
> So, und das hab ich natürlich überhaupt nicht mehr
> verstanden... Also es wird ein j definiert, am Anfang, in
> Abhängigkeit von i. Das ist klar. Die so veränderte
> Schreibweise von eben zu nun ist ebenfalls klar. Warum
> ausgerechnet mit diesem Term nicht, aber das ist auch nicht
> so wichtig, oder? Aber danach taucht in der gesamten
> Rechnung kein j auf! Oder wird das, was als j definiert
> wurde, jetzt halt als i geschrieben? Und die Umformungen
> danach hab ich auch nicht mehr verstanden... Wo das alles
> herkommt und warum das so geändert wird. Keine Ahnung. Und
> zwischendurch, warum plötzlich statt [mm]\vektor{n \\ n} \vektor{n+1 \\ n+1}[/mm]
> genommen wird, hab ich auch nicht verstanden. Das Ende ist
> klar, aber leider nicht, wie man dahin kommt...
>
>
> Ich wär Euch also echt dankbar, wenn Ihr mir das
> möglichst kleinschrittig und für Dummies mal erklären
> könntet. Als wir das damals im Unterricht abgeschrieben
> haben, hat unser Lehrer mir alles klar erklärt, aber ich
> hab's, blöd wie ich bin, wieder vergessen :(.
> Ich hoffe, ich bin trotzdem nicht zu blöd für's
> Mathestudium und werde nicht (wie unser Lehrer es uns allen
> vor'm Abi prophezeit hat) "untergehn wien Stein"... ;)
Hallo,
das mit dem "zu blöd" lassen wir mal.
Trotzdem ein gut gemeinter Rat:
Wenn man dir damals schon Induktion kleinschrittig erklären musste und du jetzt nichts mehr davon begreifst, fehlen dir schon Grundlagen, die man absolut mitbringen MUSS.
Das Mathestudium vermittelt Inhalte wesentlich abstrakter als in der Schule, an diesem Qualitätssprung scheitern selbst Leute, denen es in der Schule zugeflogen ist.
Bevor du nach 6 Wochen Verzweifelung verspätet (wie viele) ins Wiwi-Studium wechselst, solltest du dich lieber gleich umorientieren.
Denk mal drüber nach.
Gruß Abakus
>
> Danke im Voraus und liebe Grüße,
> Kathilisabeth
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Hallo Kathilisabeth!
Also was abakus schreibt finde ich nicht so ganz richtig. Es ist schon so, dass man es auf der Uni nicht mehr so ausführlich erklärt bekommt wie in der Schule, aber wenn man es sich selbst so kleinschrittig erklären kann ist das schon ok, wenn auch vllt manchmal mehr Arbeit. Aber in diesem Fall finde ich es gar nicht so kleinschrittig... Allerdings sind evtl. andere Beweise zum Verstehen der vollständigen Induktion einfacher - googel doch mal ein bisschen oder leih dir ein Mathebuch aus der Uni-Bibliothek aus. Da steht meistens was drin. Mir ist das im Moment auch ein bisschen viel hier, alles weiß ich auch nicht direkt und es ist etwas umständlich zu schreiben. Aber ich mache mal einen Anfang.
> Zu Beweisen ist [mm](a+b)^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n-i}[/mm]
> [mm]1=(a+b)^{0}=\summe_{i=0}^{0}\vektor{0 \\ i}a^{i}b^{0-i}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{0 \\ 0}a^{0}b^{0-0}=1[/mm]
Das nennt sich übrigens Induktionsanfang.
> Induktionsschritt von n auf n+1
> [mm](a+b)^{n+1}=(a+b)^{n}(a+b)[/mm]
> [mm]=(\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n-i})(a+b)[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-i}+\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}+\vektor{n \\ n}a^{n+1}b^{0}+\summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-1}+\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}[/mm]
>
> Hier beginnen meine ersten Fragen. Ich weiß überhaupt
> nicht mehr, warum man von n auf n+1 gehen muss. Um zu
> zeigen, dass der Beweis von oben für alle n gilt? War's
> das?
Genau. Das ist so: wenn du zeigen kannst, dass es für ein beliebiges n gilt und du dann beweisen kannst, dass es auch für das folgende n gilt, dann hast du gezeigt, dass es für alle n gilt. Denn wenn es für das folgende gilt, hast du wiederum eins, für das es gilt und kannst genauso wie gerade zeigen, dass es wiederum für das folgende gilt. Usw. 
> Der Anfang ist dann klar, das (a+b) wird ausmultipliziert,
> deshalb tauchen dann in der nächsten Zeile die [mm]a^{i+1}[/mm]
> bzw. [mm]b^{n+1-i}[/mm] auf. Aber die Zeile danach verstehe ich
> nicht mehr. Beim ersten Summanden handelt es sich um den
> eben noch zweiten Teil mit i=0 eingesetzt. Aber warum? Und
> warum ohne Summenzeichen? Und dann den eben ersten Teil mit
> i=n. Wieder die gleichen Fragen: Warum? Und wo ist das
> Summenzeichen? Und dann wird noch mal das gleiche wie eben
> addiert, nur einmal bis n-1 und einmal ab i=1. Das versteh
> ich nicht mehr... Was haben wir da gemacht gehabt? Kann mir
> das mal irgendjemand erklären, bitte?
Also das Prinzip bei der Induktion ist, dass man das, was man für n ja weiß (denn man hat ja gezeigt, dass es für n=0 gilt) im Induktionsschritt verwendet, also die Summe, die jetzt bis n+1 läuft, durch eine Summe, die nur bis n läuft und einen zusätzlichen Summanden, der dann nur aus dem Wert für i=n+1 besteht ersetzt. Denn es gilt ja: [mm] \summe_{i=0}^{n+1} \mbox{irgendwas mit i}=\summe_{i=0}^n\mbox{irgendwas mit i}+\summe_{i=n+1}^{n+1}\mbox{irgendwas mit i}=\summe_{i=0}^n\mbox{irgendwas mit i}+\mbox{irgendwas mit n+1}.
[/mm]
Ist allerdings irgendwie gerade nicht so toll aufgeschrieben...
Vielleicht hilft es dir, wenn ich das Ganze farbig mache:
[mm] \red{\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-i}}+\blue{\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}}
[/mm]
[mm] =\blue{\vektor{n \\ 0}a^{0}b^{n+1}}+\red{\vektor{n \\ n}a^{n+1}b^{0}}+\red{\summe_{i=0}^{n-1}\vektor{n \\ i}a^{i+1}b^{n-1}}+\blue{\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n+1-i}}
[/mm]
Von jeder Summe wurde also einfach ein Summand abgespalten, das heißt einzeln aufgeschrieben; von der ersten Summe der letzte Summand (für i=n) und von der zweiten Summe der erste Summand (für i=0).
Den Rest soll sich mal lieber jemand anders anschauen... Oder du suchst dir wirklich erstmal ein paar andere Beweise - übrigens sollte es da hier im Forum auch genug von geben.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo!
Also, ehrlich gesagt hat Abakus mich da erst mal etwas geschockt. Ich hab mich schon über's Mathestudium informiert und weiß, dass es schwer wird, aber ich hab Spaß an Mathe und glaub deshalb, dass ich's schaffe. Und Induktion ist ja normalerweise noch kein Thema in der Schule. Und im LK hatte ich immerhin auch 10,14,13,11 Punkte. Aber gut, egal.
VIELEN DANK an Bastiane und Informix!
Bastiane, Du hast das wirklich noch mal gut kleinschrittig aufgedröselt und Dir Mühe bei der Erklärung gegeben, sehr nett von Dir!
Und Informix, die Links helfen wirklich weiter! Ich wusste wirklich nichts von der MatheBank, hab mir eben aber schon einiges darin angesehen und denke, dass mir diese Seite im Studium doch wohl manchmal behilflich werden kann, nicht nur bei der Induktion! Das ist wirklich gut. Danke dafür.
Gut, wenn man nette Leute hat, die die Dinge viel besser können, als man selbst, und die trotzdem gerne und geduldig helfen... :)!
Liebe Grüße,
Kathilisabeth
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