vollstand. Induktion Falkutät < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Do 17.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Guten Abend an alle!
Mich plakt schon wieder die Mathematik...
Wenn für mich das Thema in der Vorlesung und Nacharbeitung nachvollziehbar gewesen wäre, müsste ich jetzt nicht fragen...
Habe aber nicht wirklich etwas verstanden. Darum bitte HILFE...
Ich wäre mit dem Anfang des Induktionsschlusses zufrieden incl.
einer Erklärung warum ich was durch was ersetze...
Damit ich dann versuchen kann, damit weiter zu rechnen...
denn das habe ich ein wenig besser verstanden... aber wie man
darauf kommt eben nicht...
Aufgabe:
Zeige für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n}
[/mm]
Induktionsanfang: n=0
[mm] \summe_{k=0}^{0} \vektor{0\\ k} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*k!} [/mm] = [mm] \bruch{0!}{(0-0)!*0!} [/mm] = 0! =1 = [mm] 2^{0} [/mm] = 1
Soweit habe ich es verstanden, nun hoffe ich, dass mir jemand weiterhelfen kann und das auch ein wenig erklärt...
Vielen Dank im Voraus...
Gruß Doreen
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Doreen!
Die Induktionsverankerung ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Nun zum Induktionsschluss: wir nehmen an, dass die Behauptung für $n$ korrekt sei, d.h. dass [mm] $\sum_{k=0}^{n} \vektor{n\\ k} [/mm] = [mm] 2^n$ [/mm] gilt. Daraus wollen wir nun [mm] $\sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1\\ k} [/mm] = [mm] 2^{n+1}$ [/mm] gilt. Dazu musst du diesen Ausdruck so umformen, dass du irgendwo die Induktionsvoraussetzung, d.h. [mm] $\sum_{k=0}^{n} \vektor{n\\ k} [/mm] = [mm] 2^n$ [/mm] einbinden kannst. In erster Linie stört dabei das $n+1$ im Binomialkoeffizienten. Das bekommen wir weg, indem wir die bekannte Beziehung [mm] $\vektor{n+1\\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n\\ k}+\vektor{n\\k-1}$ [/mm] anwenden. Die Summe wird dann zu [mm] $\sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n\\ k}+\vektor{n\\ k-1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n\\ k} [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n\\ k-1}$. [/mm] Hier kannst du nun die Induktionsverankerung einbinden. Schaffst du das?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
eigentlich habe ich gedacht, dass ich damit weiterkomme...
Die Erklärungen habe ich verstanden...
[mm] \sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1\\ k} [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] das soll bewiesen
werden...
dazu nehme ich zur Hilfe: [mm] \vektor{n+1\\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n\\ k}+\vektor{n\\k-1} [/mm] wenn ich das jetzt umschreibe: [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*k!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(k-1)! *[n-(k-1)]!} [/mm] = [mm] \vektor{n+1\\k} [/mm] ergibt das und das wird garantiert nicht
die Lösung sein, denn das wäre zu schön um wahr zu sein....
Also lautet die Antwort auf die Frage, ob ich es schaffe die Induktionsverankerung einzubinden, nein... Bitte helft mir weiter...
Gruß Doreen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Doreen,
Eine solche Frage wurde hier schonmal gestellt.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
ich glaub in meinem Induktionsanfang ist doch ein Fehler, denn ich darf
ja nur n [mm] \in \IN [/mm] nehmen also keine NULL für n einsetzen, dass
habe ich aber... auch wenn mit NULL der Induktionanfang stimmt,
korrekt ist er dann doch nicht, oder?
[mm] \summe_{k=0}^{0} \vektor{0\\k} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!\cdot{}k!} [/mm] = [mm] \bruch{0!}{(0-0)!\cdot{}0!} [/mm] =0! = 1! = [mm] 2^{0} [/mm] = 1
Sollte er auf Grund des oben genannten nicht stimmen... kann ich dann
einfach wie folgt schreiben:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} \vektor{n\\k} [/mm] für n =1 einsetzten, dann erhalte ich
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} \vektor{n-1\\k} [/mm] = [mm] \vektor{1-1\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-1-k)! *k!} [/mm] = [mm] \bruch{(1-1)!}{(1-1-0)!*0!}= \bruch{0!}{(0-0)! * 0!} [/mm]
=0! = 1 = [mm] 2^{1-1} [/mm] = [mm] 2^{0} [/mm] =1
und dann würde es doch auch stimmen, oder ist das verboten?
Wäre toll, wenn mir jemand Antwort darauf geben könnte, bevor mein
Kopf explodiert, weil ich zuviel darüber nachdenke.... und niergendswo was
gefunden habe, was mir Antwort auf die Frage gibt.
Vielen Dank im Voraus, liebe Grüße Doreen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 So 20.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doreen!
Wie bei Deiner anderen Aufgabe mit dem Binomialkoeffizienten funktioniert der Induktionsanfang auch mit $n \ =\ 1$ , wenn Du wiederum beachtest, dass der Ausdruck [mm] $\summe_{k=0}^{1}\vektor{1\\k}$ [/mm] aus zwei Summanden besteht:
Induktionsanfang: [mm] $\summe_{k=0}^{1}\vektor{1\\k} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\vektor{1\\0}}_{k=0} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{1\\1}}_{k=1} [/mm] \ = \ ... \ = \ 1 + 1 \ = \ 2 \ = \ [mm] 2^1$ [/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 So 20.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
ich bin noch nicht weiter mit der Vollständigen Induktion.
Die Mitteilund ist lieb gemeint, aber den letzten Teil versteh
ich ebenfalls nicht.
Wie kommt man auf [mm] 2^{m} [/mm] + [mm] 2^{m} [/mm] + 0 von dem Teil ausgehend,
was davor steht...?
Eigentlich wäre es ganz lieb, wenn mir jemand von Hannos Beispiel
aus erklären könnte, wie ich die Induktionsverankerung dort
einbringen könnte...
die Aufgabe [mm] n\in \IN \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k} [/mm] = [mm] 2^n [/mm]
Stand in Hannos Antwort:
[mm] \sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n\\ k}+\vektor{n\\ k-1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n\\ k} [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n+1} \vektor{n\\ k-1} [/mm]
Achja, ich probiere die ganze Zeit an der Aufgabe herum, suche
Artikel und sonstiges um das zu verstehen... bis jetzt ohne
Erfolg, das Einzige was ich verstanden hab, war das Bsp. 6 aus 49...
aber das hilft mir leider hier auch nicht... was nutzt das, wenn
der Wille da ist und ich den Weg nicht finde...
Ich weiß, dass es viel Schreibarbeit ist, aber bitte, jemand muss mir
einfach helfen. Ich bin schon am Verzweifeln...
Liebe Grüße Doreen.
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Hallo Doreen,
> Wie kommt man auf [mm]2^{m}[/mm] + [mm]2^{m}[/mm] + 0 von dem Teil
> ausgehend,
> was davor steht...?
Das ist ja gerade das schöne an der vollständigen Induktion! Man beobachtet (oder glaubt) eine Gesetzmäßigkeit bei irgendwelchen ganzen Zahlen (zu beobachten) und formuliert erstmal intuitiv eine Formel, so wie ich das damals bei meiner Frage gemacht habe:
[mm] $\sum_{k=0}^{n}{\binom{m}{k}} [/mm] = [mm] 2^m$
[/mm]
Und anstatt das direkt zu beweisen, tue ich so, als gelte die obige Gesetzmäßigkeit ab einer bestimmten natürlichen Zahl, und zeige dann, daß es auch für jede nachfolgende Zahl gelten muß.
Schaffe ich es nun diese Gesetzmäßigkeit für eine nachfolgende natürliche Zahl wie m + 1 so umzuformen, daß ein Term vorkommt, der genau meiner Behauptung entspricht, kann ich diese(n) Term(e) einfach durch meine Annahme ersetzen!
Und was diese 0 angeht:
[mm] $\binom{m}{m+1}$ [/mm] ist als 0 definiert, weil wir sonst unsinnige Werte erhalten würden. Es gilt nämlich:
[mm] $\binom{m}{m+1} [/mm] = [mm] \frac{m!}{\left(m+1\right)!\left(m-m-1\right)!} \notin \mathbb{N}$
[/mm]
Man kann es auch aus durch kombinatorische Überlegungen begründen. Soweit ich weiß, wird [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] ja für das Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln ohne zurücklegen benutzt. Das hieße also, Du ziehst m + 1 Kugeln aus einer Urne, die nur m Kugeln hat. 
Viele Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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