wahre oder falsche Aussage? < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 So 16.10.2005 | | Autor: | scratchy |
Hi,
was haltet ihr von folg. Aussage?
[mm] \forall_{x \in R} (\exists_{n \in N} [/mm] (x+n>0))
Ich bin der Meinung, dass sie falsch ist, denn die natürlichen Zahlen sind maximal so groß wie entgegengesetzt die reellen Zahlen klein werden können.
mit Betrag ausgedrückt:
[mm] |-\infty(R)| [/mm] = [mm] |+\infty(N)|
[/mm]
Ich denke so wäre die Aussage richtig :
[mm] \forall_{x \in R} (\exists_{n \in N} [/mm] (x+n>=0))
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Hallo!
> was haltet ihr von folg. Aussage?
> [mm]\forall_{x \in R} (\exists_{n \in N}[/mm] (x+n>0))
>
> Ich bin der Meinung, dass sie falsch ist, denn die
> natürlichen Zahlen sind maximal so groß wie entgegengesetzt
> die reellen Zahlen klein werden können.
> mit Betrag ausgedrückt:
> [mm]|-\infty(R)|[/mm] = [mm]|+\infty(N)|[/mm]
> Ich denke so wäre die Aussage richtig :
> [mm]\forall_{x \in R} (\exists_{n \in N}[/mm] (x+n>=0))
Also irgendwie verstehe ich deine Begründung zwar, aber ich würde sagen, dass die Aussage stimmt. Denn [mm] \infty [/mm] ist halt [mm] \infty. [/mm] Und zu jeder reellen Zahl kann ich mir doch eine natürlich Zahl nehmen, sodass die Summe >0 wird. Wenn ich z. B. -9,9 habe, dann würde ich als natürliche Zahl die 10 addieren und komme auf >0. Wenn ich jetzt die -99 habe, dann nehme ich die 100 dazu. Bei -999 würde ich 1000 nehmen usw. Und so kann ich zu jeder reellen Zahl eine natürliche Zahl finden. So geht das immer weiter, weil es ja unendlich viele solche Zahlen gibt. Wenn [mm] \infty [/mm] selbst eine Zahl wäre, dann hättest du wahrscheinlich recht, denn dann gäbe es wirklich keine Zahl, die die Bedingung so erfüllen würde. Aber mit [mm] \infty [/mm] darf man ja nicht rechnen wie mit Zahlen.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen - mit [mm] \infty [/mm] ist das immer so eine Sache. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 So 16.10.2005 | | Autor: | unixfan |
Dem stimme ich zu.
Ich würde sogar noch weiter gehen und folgendes behaupten:
$ [mm] \forall_{r \in \IR} (\forall_{x \in \IR} (\exists_{n \in \IN} [/mm] (x+n>r))) $
Die natürlichen Zahlen sind ja so definiert, dass wenn $ x [mm] \in \IN [/mm] $, dann ist auch $ x+1 [mm] \in \IN [/mm] $, d.h. es ist jede beliebig große Zahl in $ [mm] \IN [/mm] $, das heißt ich finde immer ein $ n $ das groß genug ist, völlig egal wie $ [mm] \IR [/mm] $ definiert ist.
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Hallo scratchy,
> Hi,
> was haltet ihr von folg. Aussage?
> [mm]\forall_{x \in R} (\exists_{n \in N}[/mm] (x+n>0))
>
> Ich bin der Meinung, dass sie falsch ist, denn die
> natürlichen Zahlen sind maximal so groß wie entgegengesetzt
> die reellen Zahlen klein werden können.
Das ist ein wenig unglücklich ausgedrückt, denn beide Zahlenmengen sind unendlich, wobei es tatsächlich "mehr" reelle als natürliche Zahlen gibt. Denn die reellen Zahlen liegen überall "dicht", zwischen je zweien von ihnen gibt es immer noch eine weitere, was von den natürlichen Zahlen wohl nicht gilt.
Dafür gibt es zu jeder natürlichen Zahl immer noch eine größere.
Und damit bin ich bei deiner Gegenaussage:
> mit Betrag ausgedrückt:
> [mm]|-\infty(R)|[/mm] = [mm]|+\infty(N)|[/mm]
das kann man so nicht schreiben, im obigen Sinn ist [mm] \R [/mm] "größer" als [mm] \N
[/mm]
> Ich denke so wäre die Aussage richtig :
> [mm]\forall_{x \in R} (\exists_{n \in N}[/mm] (x+n>=0))
Das Gleichheitsszeichen verschärft die Aussage, aber besagt nicht mehr, als die Original-Aussage:
wenn es zu einem $x [mm] \in [/mm] R$ ein $n [mm] \in [/mm] N$ gäbe mit x+n>=0,
dann wählst du einfach das nächste n+1, das ja existiert!, und hast die Originalaussage.
Das Gleichheitsszeichen trifft ja allenfalls dann zu, wenn -x = n , also $x [mm] \in [/mm] N$ ist (also nur ganz "selten").
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 So 16.10.2005 | | Autor: | scratchy |
Danke an euch alle, nun ist es verständlicher und ich stimme der Aussage nun auch zu 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Mi 26.10.2005 | | Autor: | unixfan |
Mir ist noch aufgefallen, dass es sich bei der Aussage um ein Axiom handelt, sie ist also nicht wirklich beweisbar. Such mal unter Archimedes-Axiom.
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