wahrscheinlichkeitsrechung III < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hey, und sorry, letzte frage erst einmal:
ich weiß überhaupt nicht, wie ich anfangen soll, verstehe wohl die frage nicht, vieleicht kann mir sie ja jemand beantworten 
also:
beim lottospiel 6 aus 49 gibt es verschiedene gewinnränge. man gewinnt zum beispiel aus
1. wenn man 4 der 6 gewinnzahlen richtig angekreuzt hat ( 4 richtige)
2. wenn man 3 der 6 gewinnzahlen und die zusatzzahl richtig angekreuzt hat
wie groß sind bei 1. und 2. die gewinnwahrscheinlichkeiten?
vielen dank, julia
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Hi, massiver_ton,
Frage 1 ist folgendermaßen anzugehen:
(1) Wieviele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 6 Zahlen aus 49 anzukreuzen, wenn dabei die Reihenfolge (wie bekannt) keine Rolle spielt?
Nun: "6 aus 49", mathematisch geschrieben: [mm] \vektor{49\\6}.
[/mm]
(Kannst Du ausrechen mit der nCr-Taste des Taschenrechners; Ergebnis: 13.983.816, also knapp 14 Millionen).
Weiter: Du möchtest "4 Richtige", d.h. 4 Zahlen von den 6 richtigen, aber auch "2 Falsche", also zwei Zahlen aus den 49-6=43 falschen Zahlen tippen.
Dafür gibt's dann: [mm] \vektor{6\\2}*\vektor{43\\2}=15*903=13545 [/mm] Möglichkeiten.
Gewinnwahrscheinlichkeit: P("4 Richtige")= [mm] \bruch{13545}{13983816}=
[/mm]
0,0009686, also etwa 0,001= 0,1%
Rückfrage zur 2. Aufgabe: Die hat aber mit der Realität nix zu tun, denn bei 3 (!) Richtigen ist die Zusatzzahl ja wohl ohne Bedeutung! Meinst Du vielleicht "5 Richtige + Zusatzzahl"?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Fr 07.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Warum werden die beiden Binomialkoeffizienten multipliziert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Fr 07.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Warum werden die beiden Binomialkoeffizienten multipliziert?
Schau dir mal die Definition des Binomialkoeffizienten an. Es
geht doch bei [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] um die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen
einer $n$-elementigen Menge.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Fr 07.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Richtig.
Aber inwiefern hat das denn it der Definition des Binomialkoeffizienen zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Fr 07.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Es kommt darauf an wie allgemein du den Binomialkoeffizienten
definieren willst. Du kannst dir aber mal eine Motivation dazu
durch den binomischen Lehrsatz überlegen.
Okay, ich sehe gerade, dass wir hier bei der Oberstufe (Klasse 11-13 sind).
Es gilt für zwei natürliche Zahlen [mm] $n,k\ge [/mm] 0$ mit [mm] $k\le [/mm] n$ folgendes:
[mm] \vektor{n \\ k}=\produkt_{j=1}^{k}\frac{n-j+1}{j}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Lass dich nicht vom Produktzeichen abschrecken. Hier gebe
ich dir ein kleiner Beispiel, damit du es verstehst:
[mm] \produkt_{j=1}^{n}j=1*2*3*4*\ldots*n=n!
[/mm]
Für $n=4$ erhalten wir zum Beispiel:
[mm] \produkt_{j=1}^{4}=1*2*3*4=24=4!
[/mm]
Hilft das?
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Fr 07.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Nicht so richtig. :-(
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Hallo bennoman,
hier ging es ja um die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von 4 Richtigen im Lotto. Die hat man, wenn 4 der eigenen Zahlen mit Gewinnzahlen übereinstimmen und 2 eben nicht.
Die Zahl der Möglichkeiten, welche beiden nicht stimmen, ist eben "2 aus 6", mathematisch notiert [mm] \vektor{6\\2}=15, [/mm] gelesen: "6 über 2".
An die Stelle dieser beiden Zahlen, die keine Gewinnzahlen sind, können nun zwei beliebige aus den 43 nicht gezogenen Zahlen treten. Dafür gibt es [mm] \vektor{43\\2}=903 [/mm] Möglichkeiten.
Jetzt musst Du Dir überlegen, warum das multipliziert und nicht addiert wird. Das ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine häufig anfallende und wesentliche Grundentscheidung.
Betrachte dazu erst einmal nur eine der [mm] \vektor{6\\2} [/mm] Möglichkeiten. Dann überlege, was für eine andere dieser Möglichkeiten passiert...
Grüße
reverend
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dake für die antowrt. aber es stand doch auf dem zettel, dass wir 3 richtige mit zusatzzahl suchen sollen. komische aufgabe, aber so stand es da.
könnte man die erste aufgabe auch noch auf einem anderen wege lösen? so hatten wir es noch nicht, wir hatten die laplace-regel..
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Naja: Die Laplace-Regel steckt da ja auch dahinter:
"Anzahl der günstigen Möglichkeiten dividiert durch Anzahl aller Möglichkeiten".
Ich weiß nur nicht, wie Du ohne den Binomialkoeffizienten z.B. auf die Anzahl aller Möglichkeiten kommst, 6 Kugeln aus 49 möglichen zu ziehen!
Ich nehme mal einfach an, dass Du zumindest den oben erwähnten Binomialkoeffizienten kennst, weil sonst wär' die Aufgabe ja nachgerade "brutal".
Also nun zur 2. Aufgabe: Der Nenner (ca. 14 Mio.) bleibt gleich.
Nun hast Du 3 Richtige angekreuzt, also 3 der Zahlen, die Du angekreuzt hast, stammen aus der Menge der gezogenen 6 Richtigen:
[mm] \vektor{6\\3}. [/mm]
Dann hast Du auch noch die eine (einzige!) Zusatzzahl richtig: 1 Möglichkeit.
Nun gibt's aber 49-6-1=42 "Falsche". Von denen hast Du 2: [mm] \vektor{42\\2}.
[/mm]
Insgesamt gibt's demnach für Dein Ankreuzen: 20*1*861=17220 Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige mit Z. beträgt also:
[mm] P=\bruch{17220}{13983816} [/mm] = 0,00123 (ca. 0,123 %).
MfG!
Zwerglein
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Man zieht doch 4 aus den 6 Richtigen und nicht 2, heißt es dann nicht
[mm] \vektor{6 \\ 4}
[/mm]
??
Am Ergebnis ändert sich nichts, ergibt ja auch 15, aber so wäre der Gedanke richtiger oder??
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Hi, bigben,
hast natürlich Recht (und wer Recht hat, zahlt ...!)
Muss natürlich [mm] \vektor{6\\4} [/mm] heißen! Logo! Danke!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 So 13.02.2005 | | Autor: | informix |
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> hast natürlich Recht (und wer Recht hat, zahlt ...!)
> Muss natürlich [mm]\vektor{6\\4}[/mm] heißen! Logo! Danke!
>
allerdings sind die  Binomialkoeffizienten symmetrisch,
daher gilt: [mm] $\vektor{n\\n-k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)! * k!} [/mm] = [mm] \vektor{n\\k}$
[/mm]
hier also $ [mm] \vektor{6\\4} [/mm] = [mm] \vektor{6\\2}$
[/mm]
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