welchen Ansatz wählen? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 So 19.07.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Berechne:
[mm] y'=\bruch{y+2}{x+y-1} [/mm] |
Hallo,
ich habe das ganze mittels u:=y+2 , v:=x-3 und u'=y' zu
[mm] u'=\bruch{u}{u+v} [/mm] umgeformt. Nur weiß ich ab hier leider nicht mehr weiter.
Hat jemand ne idee wie dem ding herr zu werden ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 So 19.07.2009 | | Autor: | wogie |
Hmm.
Schreibe mal
[mm] $u'(x)=\frac{1}{1+\frac{x-3}{u(x)}}$
[/mm]
und substituiere
$z(x) [mm] :=\frac{u(x)}{x-3}$
[/mm]
danach könnte Trennung der Variablen klappen.
Kann aber auch sein, dass es einfacher geht.
Vlg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 19.07.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hey,
das hilft leider auch nicht weiter (oder ich sehs nur nicht) da ich ja dann u'(x) auch durch z'(x) ersetzen muss und u(x)=z(x)(x-3) gilt. ==> u'(x)= z'(x)(x-3)+z(x) und damit
[mm] z'(x)(x-3)+z(x)=\bruch{1}{1+z(x)}
[/mm]
hat evt. noch jemand ne andere Idee?
is zwar nur zum üben, aber lösbar muss es ja tortzdem irgendwie sein, da uns unser Prof. das als Beispielaufgabe gegeben hat.
mfg die Maxi
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Hallo,
[mm] $y'=\frac{y+2}{x+y+2}$
[/mm]
u=y-1
[mm] $u'=\frac{u+3}{x+u}$
[/mm]
[mm] $\frac{dx}{du}=\frac{x+u}{u+3}$
[/mm]
Nun erst homogene DGL lösen, dann VdK.
[mm] $x'(u)_h=\frac{x}{u+3}$
[/mm]
etc.
Am Schluss prüfen, ob es eine Umkehrfunktion gibt.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 19.07.2009 | | Autor: | wogie |
zumindest kannst du das dann so auflösen
[mm]\frac{dz}{\bruch{1}{1+z}-z}=\bruch{dx}{(x-3)}[/mm]
des müsstest jetzt halt integieren, aber ich bezweifel, dass man das danach nach z auflösen kann. ka, ob du dich mit der lösung in impliziter form zufriedengibst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 19.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Maxi!
> Berechne:
>
> [mm]y'=\bruch{y+2}{x+y-1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe das ganze mittels u:=y+2 , v:=x-3 und u'=y' zu
>
> [mm]u'=\bruch{u}{u+v}[/mm] umgeformt. Nur weiß ich ab hier leider
> nicht mehr weiter.
>
> Hat jemand ne idee wie dem ding herr zu werden ist?
Das ist eine ![[]](/images/popup.gif) Jacobische DGL, die du schon in die Euler-homogene DGL umgeformt hast. Damit lässt sie sich im Prinzip lösen, aber man kommt auf eine unangenehme implizite Darstellung der Lösungsfunktion.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Mo 20.07.2009 | | Autor: | maxi85 |
Ich habs wieder.
[mm] u'=\bruch{u}{u+v} [/mm] sei u=s*v => u'=s'v+sv'=s'v+s
[mm] s'v+s=\bruch{s*v}{s*v+v}
[/mm]
[mm] \bruch{ds}{dv}v=\bruch{s}{s+1}-s
[/mm]
kommt zwar auch nichts schönes raus aber der ansatz ist recht einfach. mfg
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