wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine nicht hebbare Singularität c von f [mm] \in [/mm] O(D/c) stets eine wesentliche Singularität von exp f(z) ist. |
Ich hab leider keine Ahnung wie ich überhaupt beginnen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mo 22.08.2011 | | Autor: | gissi |
Hallo,
was soll mit O(D/c) gemeint sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mo 22.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> was soll mit O(D/c) gemeint sein?
D ist eine offene Teilmenge von [mm] \IC, [/mm] mit D/C ist wahrscheinlich $D [mm] \setminus \{c\}$ [/mm] gemeint und $O(D [mm] \setminus \{c\}$) [/mm] bez. die Menge der auf $D [mm] \setminus \{c\}$ [/mm] holomorphen Funktionen.
Ich persönlich halte die Aufgabe für viel zu schwer für eine Übungsaufgabe.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 22.08.2011 | | Autor: | cycore |
Nein so schwer ist das garnicht...ich hab mir da irgendwann mal etwas mittels Ordnung überlegt aber ich bekomme es nicht mehr ganz zusammen und wenn der Begriff noch nicht vorliegt verwirrt das mehr als das es hilft..Ich glaube es lief so, dass [mm]\exp\circ{}f[/mm] und dessen Ableitung die gleiche Ordnung haben und das ist sicherlich nur dann der Fall, wenn die Singularität wesetlich war. Werde das nochmal ordentlich als antwort formulieren wenn mir niemand zuvorkommt und ich wieder genau weiß wie es ging. Aber eine allgemeine Warnung - Finger weg von Potenzreihen/Laurentreihen hier!. Die Argumentation die da nahesteht, steht in diesem Fall immer auf wackligen Beinen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mo 22.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gibt 2 Fälle: c ist ein Pol von f oder c ist eine wesentliche Singularität von f.
Den einfacheren Fall mach ich Dir mal vor:
Sei c eine wesentliche Sing. von f. Sei r>0 so, dass [mm] $U:=\{z \in \IC: 0<|z-c|
[mm] \overline{f(U)}= \IC.
[/mm]
Es folgt:
[mm] $\IC= \overline{\IC \setminus \{0\}} =\overline{exp(\IC)}=\overline{exp(\overline{f(U)}} \subseteq \overline{exp(f(U)}$
[/mm]
bemüht man nochmal den Satz von Casorati-Weierstraß, so erhält man, dass c eine wesentliche Singularität von [mm] e^f [/mm] ist.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mo 22.08.2011 | | Autor: | cycore |
Hallo, wie in meinem Kommentar angekündigt hier eine Alternative. Diese ist leider nur dann ratsam, wenn der Umgang mit der Ordnung einer Singularität klar ist, hier nochmal schnell eine Definition.
Es seien [mm]a\in{}U\subset\IC,\;U[/mm] offen und [mm]f\colon{}U\setminus{a}\to\IC[/mm] Holomorph. Dann ist mit[mm]ord_a(f) := \min\{k\in\IZ | (z-a)^k f(z) \text{ hebbar in } a\}[/mm] die Ordnung von [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] definiert. Hierbei sei [mm]\min\emptyset=\infty[/mm] per Konvention. Letzteres ist natürlich genau bei wesentlichen Singularitäten der Fall. Dann muss man sich noch von ein paar kleinigkeiten vergewissern:
(i) [mm]ord_a(f)=0[/mm] gilt genau dann, wenn [mm]f[/mm] eine hebbare Singularität in [mm]a[/mm] hat und [mm]0 < ord_a(f) = k < \infty[/mm] gilt genau dann, wenn [mm]f[/mm] einen Pol in [mm]a[/mm] hat.
(ii) Gilt [mm]0 < ord_a(f) = k <\infty[/mm], so ist [mm]ord_a(f') = k+1[/mm] und insgesamt gilt allgemeiner [mm]ord_a(f) \leq ord_a(f')[/mm].
(iii) Mit entsprechender Konvention für arithmetik mit [mm]\infty[/mm] gilt [mm]ord_a(f*g) = ord_a(f) + ord_a(g)[/mm] für jede weitere nahe [mm]a[/mm] holomorphe Funktion [mm]g[/mm].
Daraus (oder Mittels Reihendarstellung) sehen wir zunächst: Es kann nie [mm]ord_a(f') = 1[/mm] sein (warum?).
Nun zum eigentlichen Beweis:
Es sei [mm]f[/mm] wie oben und [mm]0
Angenommen [mm]\exp\circ{}f[/mm] hat einen Pol in [mm]a[/mm]. Dann gäbe es ein [mm]k[/mm] so, dass [mm]0 < ord_a(\exp\circ{}f) = k < \infty[/mm] und schließlich wäre [mm]k+1 = ord_a((\exp\circ{}f)') = ord_a(f' \exp\circ{}f) = ord_a(f') + ord_a(\exp\circ{}f) = ord_a(f') + k[/mm]. Dies kann aber nicht sein, denn sonst wäre [mm]ord_a(f') = 1[/mm].
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:02 Mo 22.08.2011 | | Autor: | Rechenfehler |
Erstmal danke für die schnellen Antworten.
Also es läuft wenn ich das richtig sehe immer auf eine Fallunterscheidung hinaus? Man kann nicht vom Riemannschen Hebbarkeitssatz ausgehen einen allgemeinen Beweis führen? (das habe ich nämlich versucht)
Zu cycore: Es kann nie $ [mm] ord_a(f') [/mm] = 1 $ sein, weil dann wäre ja $ [mm] ord_a(f) [/mm] = 0 $ und somit a kein Pol sondern hebbar.
zu fred97: Der Ansatz ist klar, allerdings versteh ich
$ [mm] \IC= \overline{\IC \setminus \{0\}} =\overline{exp(\IC)}=\overline{exp(\overline{f(U)}} \subseteq \overline{exp(f(U)} [/mm] $
nicht wirklich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mo 22.08.2011 | | Autor: | cycore |
Hi,
> Erstmal danke für die schnellen Antworten.
> Also es läuft wenn ich das richtig sehe immer auf eine
> Fallunterscheidung hinaus?
Ich sehe gerade, ich habe das zu schwach gemacht, du möchtest ja haben, dass [mm]\exp\circ{}f[/mm] wesentlich ist und nicht nur kein Pol, aber wie du dir sicher schnell überlegen kannst funktioniert das auch, wenn man für [mm]k[/mm] auch 0 zulässt, man hat also den hebbaren Fall gleich mit abgedeckt und benötigt keine Fallunterscheidung
> Man kann nicht vom Riemannschen
> Hebbarkeitssatz ausgehen einen allgemeinen Beweis führen?
> (das habe ich nämlich versucht)
Ich weiß nicht wie ich mir das vorstellen soll, er funktioniert doch eben nur bei hebbaren Funktionen?
> Zu cycore: Es kann nie [mm]ord_a(f') = 1[/mm] sein, weil dann wäre
> ja [mm]ord_a(f) = 0[/mm] und somit a kein Pol sondern hebbar.
Das ist die Idee, aber Formal problematisch. Genauer sollte man feststellen, dass es sich bei [mm][/mm][mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] dann schon um einen Pol gehandelt aben muss, doch dann wäre ja die Ordnung der Ableitung schon größer oder gleich 2.
> zu fred97: Der Ansatz ist klar, allerdings versteh ich
> [mm]\IC= \overline{\IC \setminus \{0\}} =\overline{exp(\IC)}=\overline{exp(\overline{f(U)}} \subseteq \overline{exp(f(U)}[/mm]
> nicht wirklich.
Was genau verstehst du da nicht? Dieses [mm]\overline{\IC}[/mm] (und bei den anderen) ist der topologische Abschluß von Mengen, das solltest du kennen? Dann steht da eine Inklusionskette die zeigt, dass gilt was nichts anderes bedeutet als das das Bild von [mm]\exp\circ{}f[/mm] unter [mm]U[/mm] dicht in [mm]\IC[/mm] liegt und da es sich beim Satz von Casorati-Weiserstraß um eine Äquivalenzaussage handelt erhälst du was du wolltest, eine wesentliche Singularität in [mm]a[/mm].
EDIT: Dieser neue Formeleditor treibt mich noch in den Wahnsinn...
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ja okay habs jetzt verstanden vielen dank für die Hilfe!
gruß
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