wohldefiniertheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Di 24.04.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo,
Es seien f [mm] \in [/mm] K[X] ein normiertes Polynom mit Grad(f) = n [mm] \in [/mm] N,
U := {p · f|p [mm] \in [/mm] K[X]} und V := K[X]/U gesetzt.
Sei F : V -> V mit F(g+U) := Xg+U. Zeigen Sie, dass F wohldefiniert und linear ist und
bestimmen Sie das charakteristische Polynom F , sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren
von F.
ich brauche unbedingt hilfe bei dieser aufgabe,
linearität zeigen habe ich schon ein paar mal gemacht, ich hoffe das kriege ich noch hin, aber ich habe leider garkeinen ansatz um wohldefiniertheit zu zeigen. und ich weiß auch nicht wie ich das charakteristische polynom von F bestimmen soll für so eine abstrakte abbildung, bisher hab ich das nur für matrizen gemacht...
hoffe auf ein paar hinweise
mfg thomas
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Hallo!
Könnte vielleicht jemand einen Ansatz zur Linearität posten?
Die Bedingungen sind mir klar, aber wie kann ich das in diesem spez. Fall anfangen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Di 24.04.2007 | | Autor: | komduck |
F wohldefiniert zeigst du in dem du zeigst:
g1 + U = g2 + U => Xg1 + U = Xg2 + U
a) g1 + U = g2 + U <=> g1 - g2 [mm] \in [/mm] U
b) g [mm] \in [/mm] U => Xg [mm] \in [/mm] U
Wenn du a) und b) gezeigt hast ergibt es sich.
linear zeige a bis d:
a) g1 + U + g2 + U = (g1+g2) + U
b) X(g1+g2) = Xg1 + Xg2
c) a(g1+ U) = (ag1) + U
d) X(ag1) = a(Xg1)
komduck
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Zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren:
[mm] F(g+U)=\lambda(g+U)
[/mm]
[mm] X(g+U)=\lambda g+\lambda [/mm] U
[mm] Xg+XU=Xg+U=\lambda [/mm] g+U
Xg - [mm] \lambda [/mm] g [mm] \in [/mm] U
(X - [mm] \lambda) [/mm] g =p*f
Also ist (X - [mm] \lambda) [/mm] ein Linearfaktor der linken und damit auch der rechten Seite, also ein Linearfaktor von f. Damit ist [mm] \lambda [/mm] eine (ggf. komplexe, hängt aber vom Körper ab) Nullstelle von f. Somit:
Eigenwerte = Nullstellen von f.
g ist dann der Faktor, der noch zu [mm] (X-\lambda) [/mm] fehlt, um p*f zu bilden. Die Basis der Eigenvektoren besteht damit aus den [mm] f/(X-\lambda), [/mm] wobei diese Polynomdivision immer aufgeht, da ja [mm] (X-\lambda) [/mm] Linearfaktor von f ist.
Da das charakteristische Polynom alle Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] als Nullstellen hat, ist es ein Produkt aller Linearfaktoren [mm] (\lambda-\lambda_{i}). [/mm] Da die [mm] \lambda_{i}, [/mm] wie oben gezeigt, Nullstellen des Polynoms f sind, hat dieses die entsprechenden Linearfaktoren [mm] (X-\lambda_{i}). [/mm] Das heißt: das charakteristische Polynom ist mit f (bis auf einen konstanten Faktor k [mm] \in [/mm] K) identisch, wobei nur X durch [mm] \lambda [/mm] ersetzt wird.
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