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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 So 30.12.2007 | | Autor: | engel |
Hallo!
ich zweifel gerade an einer ganz leichten umformung.
(x-2)² > 16
Jetzt hab' ich ja zwei Lösungen:
x-2 > 4
und
x-2 > -4
stimmt das? oder muss statt >-4 da <-4 stehen?
Bitte antwortet mri,d amit ich weiter rechnen kann, danke!
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du ziehst ja nur auf beiden Seiten die Wurzel, also stimmen deine zwei Lösungen, das "grösser als" bleibt.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:53 So 30.12.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> du ziehst ja nur auf beiden Seiten die Wurzel, also stimmen
> deine zwei Lösungen, das "grösser als" bleibt.
Dann wäre die Lösungsmenge x>-4. Insbesondere wäre für x=0 die Ungleichung erfüllt. Das ist aber nicht der Fall.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 So 30.12.2007 | | Autor: | engel |
also doch <-4?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 So 30.12.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
[mm] (x-2)^{2}>16 [/mm] ist das gleiche wie
[mm] (x-2)^{2}-16>0 [/mm] und mit Anwendung der binomischen Formel kommt man auf
(x-2+16)(x-2-16)>0.
So sieht man, dass x<-6, oder x>6 (mit der [mm] \pm [/mm] 4 hast du dich verrechnet) sein muss, damit die Ungliechung gilt.
Ansonsten ist es meistens eine gute Idee die Nullstellen der zugrunde liegenden quadratischen Gleichung auszurechnen:
[mm] x^{2}-4x+4-16=0.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:21 So 30.12.2007 | | Autor: | MontBlanc |
hi dormant,
dir ist da ein kleiner tippfehler unterlaufen vermute ich, denn die ungleichung ist erfüllt für x<-2 und x>6 .
Das ist m.E. auch recht leicht so zu erkennen, weil [mm] (-2-2)^{2}=(-4)^{2}=16 [/mm] und
[mm] (6-2)^{2}=4^{2}=16
[/mm]
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo engel!
Hier mal ein sauberer Weg, bei dem man die Wurzel zieht. Allerdings muss man dann auch sauber mit Betragsstrichen schreiben.
[mm] $$(x-2)^2 [/mm] \ > \ 16 \ \ \ \ [mm] \left| \ \wurzel{ \ ... \ }$$
$$\red{|}x-2\red{|} \ > \ \wurzel{16} \ = \ 4$$
Nun Fallunterscheidung ... Fall 1 mit $x-2 \ \ge \ 0$ $\Rightarrow$ $|x-2| \ = \ +(x-2) \ = \ x-2$ :
$$\Rightarrow \ \ x-2 \ > \ 4$$
$$\gdw \ \ x \ > \ 6$$
Fall 2 mit $x-2 \ < \ 0$ $\Rightarrow$ $|x-2| \ = \ -(x-2) \ = \ -x+2$ :
$$\Rightarrow \ \ -(x-2) \ > \ 4 \ \ \left| \ * \ (-1) \ \ \text{Achtung: Ungleichheitszeichen umdrehen, da Multiplikation mit negativer Zahl!}$$
$$\gdw \ \ x-2 \ \red{<} \ -4$$
$$\gdw \ \ x \ < \ -2$$
Gruß
Loddar
[/mm]
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Hi Loddar,
mein CAS (TI Voyage 200) behauptet das Gegenteil... Für [mm] (x-2)^{2}>16 [/mm] liefert "es" mir die Lösungen x>6 und x<-2 ...
MuPAD liefert unabhängig davon dasselbe ergebnis:
[mm] (-\infty;-2)\vee(6;\infty)
[/mm]
Hab ich was verpasst ?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mo 31.12.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hi Loddar,
>
> mein CAS (TI Voyage 200) behauptet das Gegenteil... Für
> [mm](x-2)^{2}>16[/mm] liefert "es" mir die Lösungen x>6 und x<-2 ...
>
> MuPAD liefert unabhängig davon dasselbe ergebnis:
>
> [mm](-\infty;-2)\vee(6;\infty)[/mm]
Ich hab nicht aufgepasst und Loddar hat sich bei seiner Berechnung in der ersten Zeile verschrieben:
> Fall 1 mit [mm] x-2\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] |x-2|=+(x + 2)
Gruß,
dormant
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