xln(x) x gegen 0 < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 01.04.2008 | | Autor: | Tina3 |
Hallo!
Kann mir jemand sagen warum [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x) [/mm] jegen 0 läuft? hab gedacht man kann ja evtl [mm] ln(x^{x}) [/mm] schreiben und dann iiredwie begründen das das gegen ln(1) also gegen 0 läuft? wär super wenn mir noch jemand eine lösung sagen könnte!
Gruß tina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Di 01.04.2008 | | Autor: | tobe |
Ich hoffe ich liege richtig.
[mm] \limes_{n\rightarrow0}xln(x)=\limes_{n\rightarrow0}\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}="\bruch{\infty}{\infty}" [/mm] -> l'Hospital=
[mm] =\limes_{n\rightarrow0}\bruch{\bruch{1}{x}}{\bruch{-1}{x^{2}}}=\limes_{n\rightarrow0}-x
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow0} [/mm] -x=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Di 01.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Es geht auch ohne L'Hospital:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}x*ln(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*ln(\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}ln((\bruch{1}{n})^{\bruch{1}{n}})=\limes_{n\rightarrow\infty}ln(\bruch{1}{\wurzel[n]{n}})=ln(1)=0.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 01.04.2008 | | Autor: | Tina3 |
hallo!
hab aber eine frage zu der zweiten variante:
hab ich damit nicht nur gezeigt dass es für eine folge also die folge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gilt das sie in die funktion eingesetzt gegen null laüftß um wirklich bzu zeigen das das gegen null läuft müsste ich doch eigentlich zeigen, dass das für jede folge geht?
kann mir da bitte nochmal jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Di 01.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ich kenne zwar nur die Verfahren, die ich so bisher, sprich bis zur 13 so angewendet habe, aber im Allgemeinen denke ich, dass man alle Nullfolgen genauso verwenden kann, wie wenn man die Variable direkt gegen 0 laufen lässt.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] ist also das gleiche wie [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] n
Erstere Schreibweise ist halt nur "ein wenig deutlicher"; vor allem, wenn man z.B. in Bruchtermen ausklammern, fällt einem dadurch die Argumentation leichter.
Hoffe ich konnte helfen
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> hallo!
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> hab aber eine frage zu der zweiten variante:
> hab ich damit nicht nur gezeigt dass es für eine folge
> also die folge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gilt das sie in die funktion
> eingesetzt gegen null laüftß um wirklich bzu zeigen das das
> gegen null läuft müsste ich doch eigentlich zeigen, dass
> das für jede folge geht?
> kann mir da bitte nochmal jemand helfen?
Da hast du vollkommen recht. Wenn man überkorrekt ist, dann geht der Beweis weiter, indem man noch zeigt, dass es auch für jede andere von rechts kommende Nullfolge (sonst ist ln nicht definiert) denselben Grenzwert ergibt.
Das kann man hier aber getrost unter den Teppich kehren ^^
(Aber natürlich nicht immer - z.B. ist [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] so ein Kandidat dafür, dass es eben nicht nur mit einer einzigen Folge geht).
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