z.z. Abbildung Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mi 06.05.2020 | | Autor: | TS85 |
| Aufgabe | Sei X überabzählbar und [mm] \mathcal{A}=\{A \subset X : \mbox{A abzählbar oder }A^C \mbox{ abzählbar}\}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Abbildung
[mm] \mu: \mathcal{A} \to \IR, \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{A abzählbar} \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
ein Maß ist. |
Hallo,
da ich mich als selbstständiger Student um meine Aufgaben sorge, meine Lösung zur Korrektur:
Verifizierung Maßeigenschaften:
1.) [mm] \mu \ge [/mm] 0 (trivial)
2.) [mm] \mu(\emptyset)=0, [/mm] da leere Menge abz. mit [mm] |\emptyset|=0.
[/mm]
[mm] \mu(X)=1, [/mm] weil X nach Voraussetzung überabz. ist und das Maß bei "sonst", d.h. A überabzählbar 1 zurückgibt.
[mm] 3.)\sigma [/mm] -Additivität:
Sei [mm] A_1,A_2,... \in \mathcal{A} [/mm] eine Folge paarweiser disjunkter Mengen.
Fallunterscheidung:
[mm] *\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] abzählbar, dann auch jedes [mm] A_n\Rightarrow\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=0=\summe_{n=1}^{\infty}\underbrace{\mu(A_n)}_{=0},
[/mm]
da [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] abz. und [mm] \mu(A_n)=0.
[/mm]
[mm] *\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] überabzählbar, d.h. es existiert demnach mindestens 1 überabz. [mm] A_i, [/mm] i [mm] \in \IN
[/mm]
(da [mm] A_i \cup \bigcup_{n=1,n\not=i}^{\infty}A_n [/mm] wieder überabz.).
Da [mm] (A_n)_n [/mm] paarweise disjunkt ist, gilt:
[mm] \bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}^{\infty}A_n \subseteq A_i^C.
[/mm]
Weil [mm] A_i^C [/mm] abz. ist [mm] \Rightarrow \bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}A_n [/mm] abz.
[mm] \Rightarrow A_i [/mm] einzige überabz. Element der Folge [mm] (A_n)_{n \in \IN}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(\underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}_{ueberabz.})=1=\underbrace{\mu (A_i)}_{=1}+\summe_{n \in \IN \setminus \{i\}}\mu (A_n)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu (A_n)
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Ist der Beweis so in Ordnung oder stimmt etwas nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mi 06.05.2020 | | Autor: | fred97 |
> Sei X überabzählbar und [mm]\mathcal{A}=\{A \subset X : \mbox{A abzählbar oder }A^C \mbox{ abzählbar}\}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Abbildung
> [mm]\mu: \mathcal{A} \to \IR, \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{A abzählbar} \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> ein Maß ist.
> Hallo,
>
> da ich mich als selbstständiger Student um meine Aufgaben
> sorge, meine Lösung zur Korrektur:
>
> Verifizierung Maßeigenschaften:
> 1.) [mm]\mu \ge[/mm] 0 (trivial)
>
> 2.) [mm]\mu(\emptyset)=0,[/mm] da leere Menge abz. mit
> [mm]|\emptyset|=0.[/mm]
> [mm]\mu(X)=1,[/mm] weil X nach Voraussetzung überabz. ist und
> das Maß bei "sonst", d.h. A überabzählbar 1
> zurückgibt.
>
> [mm]3.)\sigma[/mm] -Additivität:
> Sei [mm]A_1,A_2,... \in \mathcal{A}[/mm] eine Folge paarweiser
> disjunkter Mengen.
>
> Fallunterscheidung:
> [mm]*\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm] abzählbar, dann auch jedes
> [mm]A_n\Rightarrow\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=0=\summe_{n=1}^{\infty}\underbrace{\mu(A_n)}_{=0},[/mm]
> da [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm] abz. und [mm]\mu(A_n)=0.[/mm]
>
>
> [mm]*\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n[/mm] überabzählbar, d.h. es
> existiert demnach mindestens 1 überabz. [mm]A_i,[/mm] i [mm]\in \IN[/mm]
>
> (da [mm]A_i \cup \bigcup_{n=1,n\not=i}^{\infty}A_n[/mm] wieder
> überabz.).
>
> Da [mm](A_i)_i[/mm] paarweise disjunkt ist, gilt:
> [mm]\bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}^{\infty}A_n \subseteq A_i^C.[/mm]
Bis hier ist alles O.K. Aber wie es weitergeht ist nicht o.k.
Ediit: ich hab mich vertan. Dein Beweis ist o.k.
>
> Weil [mm]A_i^C[/mm] abz.
was jetzt kommt ist Unfug
[mm] A_i [/mm] ist überabzählbar, dann muss aber das Komplement nicht abzählbar sein
Also geh nochmal ran.
> ist [mm]\Rightarrow \bigcup_{n \in \IN \setminus \{i\}}A_n[/mm]
> abz.
> [mm]\Rightarrow A_i[/mm] einzige überabz. Element der Folge
> [mm](A_n)_{n \in \IN}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \mu(\underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}_{ueberabz.})=1=\underbrace{\mu (A_i)}_{=1}+\summe_{n \in \IN \setminus \{i\}}\mu (A_n)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu (A_n)[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Ist der Beweis so in Ordnung oder stimmt etwas nicht?
>
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:20 Mi 06.05.2020 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [mm]A_i[/mm] ist überabzählbar, dann muss aber das Komplement nicht abzählbar sein
doch, muss es, nach Definition von [mm] $\mathcal{A}$. [/mm]
@TS85
Dein Beweis ist ok und vollständig.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:58 Do 07.05.2020 | | Autor: | TS85 |
Ok, ich hatte ausversehen den Index von [mm] "(A_i)_i [/mm] paarweise disjunkt" an der Stelle falsch, habe es geändert zu n.
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