z^4 = -1 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Di 23.11.2010 | | Autor: | DiscoRue |
Ich soll die Gleichung
[mm] z^4 [/mm] = -1 lösen.
Komme irgendwie nicht weiter! Mein ansatz ist der Satz von Moivre,
aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du erstmal [mm] -1=1*e^{i\phi} [/mm] aufgeschrieben hast, musst du nur noch dran denken, dass es ja im Exponenten [mm] i*(\phi+k*2\pi) [/mm] heisst, dann sollte es einfach sein, die 4 Wurzeln zu finden.
was hast du denn bis jetzt raus?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Di 23.11.2010 | | Autor: | DiscoRue |
lässt sich nicht nach moivre sagen:
[mm] \wurzel[4]{z} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{-1} [/mm] * [mm] (cos(\bruch{k2pi}{n}) +i*sin(\bruch{k2pi}{n}) [/mm] )
für n=4 und k = 0,1,2,3
Der Winkel phi verschwindet ja, da er null ist.
|
|
|
| |
|
Hallo DiscoRue,
nun finde doch erstmal eine Lösung der Gleichung. [mm] \wurzel[4]{-1} [/mm] ist ja als komplexe Zahl a+bi (oder natürlich polar) darstellbar. Wenn Du eine der Lösungen hast, sind die anderen drei ja leicht zu finden.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 23.11.2010 | | Autor: | DiscoRue |
also die vierte wurzel aus -1 ist doch das selbe wie [mm] \wurzel{i}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo DiscoRue,
> also die vierte wurzel aus -1 ist doch das selbe wie
> [mm]\wurzel{i}?[/mm]
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 24.11.2010 | | Autor: | DiscoRue |
habe die Gleichung [mm] z^4 [/mm] = - 1 nun mit substitution gelöst:
sei x = [mm] z^2, [/mm] dann gilt
[mm] x^2 [/mm] = - 1 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \pm \wurzel{-1} [/mm] = [mm] \pm [/mm] i
Daraus ergeben sich dann die zwei Gleichungen
[mm] z^2 [/mm] = i und [mm] z^2 [/mm] = -i
und dann die vier lösungen:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{i}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = - [mm] \wurzel{i}
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] = [mm] \wurzel{-i}
[/mm]
[mm] z_{4} [/mm] = - [mm] \wurzel{-i}
[/mm]
sollte so richtig sein?
|
|
|
| |
|
Hallo DisocoRue!
Als Zwischenergebnis mag das schon stimmen. Wobei der Übertrag aus [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $x^2=z [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] x=\pm\wurzel{z}$ [/mm] in den Bereich der komplexen Zahlen [mm] $\IC$ [/mm] mir doch etwas gewagt erscheint.
Aber Deine 4 Lösungen müssen nunmehr weiter geführt werden, entweder in die Koordinatenform oder die Polarform.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Mi 24.11.2010 | | Autor: | reverend |
Man könnte auch sagen: was ist eigentlich [mm] \wurzel{i} [/mm] ?
Ist das auch eine komplexe Zahl?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mi 24.11.2010 | | Autor: | DiscoRue |
die ergebnisse sind aber richtig?
nunja gute frage, würde schon sagen, dass das ne komplexe zahl ist, weil
im reellen hat die gleichung ja keine lösung.
|
|
|
| |
|
Hallo DiscoRue!
> die ergebnisse sind aber richtig?
Nochmals: das sind definitiv nicht die gesuchten Endergebnisse!!
> nunja gute frage, würde schon sagen, dass das ne komplexe
> zahl ist, weil im reellen hat die gleichung ja keine lösung.
Die Frage ist vielmehr: ist [mm] $\wurzel{i}$ [/mm] eine (im Sinne von: eindeutige) komplexe Zahl?
Daher mein Tipp: gehe hier nach der  Moivre-Formel vor und Du erhältst 4 saubere Lösungen!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
