z aus Ungleichung bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mi 17.11.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Finden Sie alle z [mm] \in \IC, [/mm] die die Ungleichung
[mm] \vmat{\bruch{2iz+4}{(1+i)z}}^{2} \le [/mm] 2
erfüllen. Skizzieren Sie die Lösungsmenge in der Gaußschen Zahlenebene! |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Also zuerst hatte ich den Grundgedanken, die Wurzel zu ziehen. Geht das bei Ungleichungen auch? Eigentlich schon, oder? Aber was ist dann mit dem Betrag?
Ich hätte ja dann:
[mm] \vmat{\bruch{2iz+4}{(1+i)z}} \le \wurzel[2]{2}
[/mm]
Und - falls das soweit richtig ist - fängt jetzt mein Rechenproblem an! Kann ich anstatt den Betrag des ganzen Bruches auch den Betrag des Zählers und den Betrag des Nenners schreiben? Eigentlich doch nicht, oder? Weil ja der gesamte Bruch positiv sein soll, richtig?
Wie gehe ich denn jetzt weiter vor? Ich kann doch bestimmt nicht einfach mit "(1+i)z" multiplizieren?! Aber andererseits ist doch der ganze Betrag eh positiv, wenn ich ihn - wie in der Aufgabenstellung beschrieben - quadrieren soll.
Also könnte ich doch eigentlich die Betragsstriche weglassen und dafür das Ding in Klammern setzen.
Und nachdem ich dann die Wurzel gezogen habe, könnte ich mit dem Nenner multiplizieren. Dann hätte ich:
(2iz+4) [mm] \le \wurzel[2]{2}(1+i)z
[/mm]
Und jetzt ausmultiplizieren würde bringen:
(2iz+4) [mm] \le \wurzel[2]{2}(z+iz)
[/mm]
(2iz+4) [mm] \le \wurzel[2]{2}z+\wurzel[2]{2}iz
[/mm]
Fallls das soweit überhaupt richtig ist, wie verfahre ich jetzt weiter?
-4 und dann durch z dividieren?
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lexjou!
Bedenke, dass gilt: [mm]|z|^2 \ = \ \left|z^2\right|[/mm]
Ich würde hier also zunächst das Quadrat in die Betragsstriche ziehen und innerhalb dieser zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 17.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Loddar,
ja stimmt! Daran habe ich gar nicht gedacht!
ich habe also folgende Gleichung:
[mm] \bruch{(2iz+4)^{2}}{(z+iz)^{2}} \le [/mm] 2
Nach dem ich die Quadrate aufgelöst habe, habe ich Folgendes:
[mm] \bruch{-4z+4iz+16}{z^{2}+2iz-z^{2}} \le [/mm] 2
Dann fasse ich zusammen:
[mm] \bruch{4(-z+iz+4)}{2iz} \le [/mm] 2
Und dann kann ich ja noch etwas kürzen:
[mm] \bruch{2(-z+iz+4)}{iz} \le [/mm] 2
Kann ich jetzt mit dem Nenner multiplizieren und dann die Ungleichung lösen?
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Hallo lexjou,
> Hallo Loddar,
>
> ja stimmt! Daran habe ich gar nicht gedacht!
>
> ich habe also folgende Gleichung:
>
> [mm]\bruch{(2iz+4)^{2}}{(z+iz)^{2}} \le[/mm] 2
Die Ungleigung muß doch so lauten:
[mm]\bruch{\vmat{\left(2iz+4\right)^{2}}}{\vmat{\left(z+iz\right)^{2}}} \le[/mm] 2
>
> Nach dem ich die Quadrate aufgelöst habe, habe ich
> Folgendes:
>
>
> [mm]\bruch{-4z+4iz+16}{z^{2}+2iz-z^{2}} \le[/mm] 2
>
> Dann fasse ich zusammen:
>
> [mm]\bruch{4(-z+iz+4)}{2iz} \le[/mm] 2
>
> Und dann kann ich ja noch etwas kürzen:
>
>
> [mm]\bruch{2(-z+iz+4)}{iz} \le[/mm] 2
>
> Kann ich jetzt mit dem Nenner multiplizieren und dann die
> Ungleichung lösen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mi 17.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ach schade! Es hätte ja auch einfach sein können... :(
Na gut, dann habe ich davon also trotzdem noch die Beträge.
Aber in den Beträgen kann ich doch schon soweit zusammenfassen, wie ich es getan habe, oder? Es kommt dann nur am Ende Folgendes heraus:
[mm] \bruch{\vmat{ 2(-z+iz+4) }}{\vmat{ iz }}\le2
[/mm]
Kann ich jetzt trotzdem mit dem Betrag des Nenners multiplizieren oder wäre es besser, ich würde im Zähler nochmal ausmultiplizieren und dann alle 4 Fälle durchrechnen? Also ohne Betragszeichen 1. Zähler so wie er ist und Nenner so wie er ist; 2. Zähler mit umgedrehten Vorzeichen und Nenner so wie er ist; 3. Zähler so wie er ist und Nenner mit umgedrehten Vorzeichen und 4. Zähler mit umgedrehten Vorzeichen und Nenner mit umgedrehten Vorzeichen.
Das kann das doch nicht sein, oder????
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Hallo lexjou,
> Ach schade! Es hätte ja auch einfach sein können... :(
>
> Na gut, dann habe ich davon also trotzdem noch die
> Beträge.
> Aber in den Beträgen kann ich doch schon soweit
> zusammenfassen, wie ich es getan habe, oder? Es kommt dann
> nur am Ende Folgendes heraus:
>
> [mm]\bruch{\vmat{ 2(-z+iz+4) }}{\vmat{ iz }}\le2[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{\vmat{ 2(-z^{\red{2}}+\red{4}iz+4) }}{\vmat{ iz }}\le2[/mm]
Um das jetzt aufzulösen, mußt Du den Betrag vpn
[mm]2(-z^{2}+4iz+4) [/mm]
bilden.
>
> Kann ich jetzt trotzdem mit dem Betrag des Nenners
> multiplizieren oder wäre es besser, ich würde im Zähler
> nochmal ausmultiplizieren und dann alle 4 Fälle
> durchrechnen? Also ohne Betragszeichen 1. Zähler so wie er
> ist und Nenner so wie er ist; 2. Zähler mit umgedrehten
> Vorzeichen und Nenner so wie er ist; 3. Zähler so wie er
> ist und Nenner mit umgedrehten Vorzeichen und 4. Zähler
> mit umgedrehten Vorzeichen und Nenner mit umgedrehten
> Vorzeichen.
>
> Das kann das doch nicht sein, oder????
>
Das ist richtig, daß das nicht sein kann.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mi 17.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Aber wenn ich den Betrag davon bilden muss dann kommt doch raus:
[mm] \bruch{\vmat{ 2(-z^{{2}}+{4}iz+4) }}{\vmat{ iz }}\le2
[/mm]
Nur wie kann ich das denn auflösen?
Kann ich mit [mm] \vmat{ iz } [/mm] multiplizieren?
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> Aber wenn ich den Betrag davon bilden muss dann kommt doch
> raus:
>
> [mm]\bruch{\vmat{ 2(-z^{{2}}+{4}iz+4) }}{\vmat{ iz }}\le2[/mm]
>
> Nur wie kann ich das denn auflösen?
> Kann ich mit [mm]\vmat{ iz }[/mm] multiplizieren?
also in meinen augen war der letzte richtige post derjenige:
[mm] \bruch{\vmat{\left(2iz+4\right)^{2}}}{\vmat{\left(z+iz\right)^{2}}} \le2
[/mm]
nun ausmultiplizieren und sowat
[mm] \frac{|(-4z^2+16jz+16)|}{|z^2+2iz^2-z^2|}\le2
[/mm]
[mm] \gdw \frac{\sqrt{(-4z^2+16)^2+(16z)^2}}{\sqrt{2z^2}}\le2 [/mm]
um dann am ende auf
[mm] \[\frac{2\,{z}^{2}+8}{{z}^{2}}\]\le2 [/mm] zu kommen
leichter wärs wohl gewesen, erst die beträge anfangs zu bilden, und durchs quadrieren die wurzel wegzuhauen.. vorher evtl sogar noch z=a+ib setzen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mi 17.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Aber warum kann ich da jetzt einfach die Wurzel ziehen? Weil ein Quadrat ja eh positiv ist, genau wie der Betrag?
Und wo ist bei Dir im Nenner das i geblieben???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 17.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Kann ich nicht schon an dieser Stelle hier:
[mm] \bruch{\vmat{\left(2iz+4\right)^{2}}}{\vmat{\left(z+iz\right)^{2}}} \le2
[/mm]
Zähler und Nenner quadrieren und die Wurzel ziehen? Weil die Wurzel kann ich ja nur aus positiven Zahlen ziehen, heißt also, es ist das Gleiche wie der Betrag, der ja auch nur Positiv ist.
Dann hätte ich:
[mm] \bruch{\wurzel{((2iz+4)^{2})^{2}}}{\wurzel{((z+iz)^{2})^{2}}} \le2
[/mm]
Und das wären doch dann
[mm] \bruch{(2iz+4)^{2}}{(z+iz)^{2}} \le2
[/mm]
Weil auf das was Du geschrieben hast komm ich beim besten Willen nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist hier alles falsch! Du hast anscheinend nicht begriffen, was der Betrag einer kompl. zahl ist. es ist, wenn du sie in der Gaussschen zahlenebene ansiehst die länge des pfeils vom 0-Pkt aus.
der Betrag einer komplexen Zahl z=a+i*b ist also [mm] |z|=\wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
du musst erst Zähler und Nenner so umformen
dass da jeweils steht A+iB also Realteil und Imaginärteil zu sehen sind. dabei setz z=x+iy dann ist etwa 2i*z = 2ix-2y
2iz+4=(4-2y) +i*2x davon jetzt [mm] Betrag^2 [/mm] entsprechend im nenner.
du hast dann eine Ungleichung mit reellen zahlen darunter x,y reell.
Wenn die betragszeichen weg sind darf da keine komplexe zahl mehr vorkommen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:28 Do 18.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Das kam mir auch alles etwas merkwürdig vor, da ich für z<-1 heraus bekommen hatte...
Also ich habe jetzt:
[mm] \bruch{\vmat{(4-2b)+2ia }^{2}}{\vmat{(a-b)+(ai+bi)}^{2}}
[/mm]
Und wie bekomme ich den Betrag² weg?
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> Also ich habe jetzt:
Hallo,
wenn Du möchtest, daß in lange Threads auch noch solche Helfer einsteigen, die nicht alles von Beginn an verfolgt haben und sich nicht jeden Unfug reinziehen wollen, dann solltest Du Dein Tun nachvollziehbar und zusammenhängend posten.
Etwa so:
zu lösen war ...
Mit z=...
erhalte ich
>
> [mm]\bruch{\vmat{(4-2b)+2ia }^{2}}{\vmat{(a-b)+(ai+bi)}^{2}}[/mm]
[mm] =$\bruch{\vmat{(4-2b)+2ia }^{2}}{\vmat{(a-b)+(a+b)i}^{2}}$
[/mm]
>
> Und wie bekomme ich den Betrag² weg?
Indem Du Dich mal darüber informierst, wie man Beträge von komplexen Zahlen berechnet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:46 Do 18.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ist das folgende hier richtig?
[mm] \bruch{(4-2b)^{2}+(2ai)}{(a+b)^{2}+(ai+bi)^{2}}\le2
[/mm]
[mm] \bruch{4b^{2}-16b-4a+16}{-4ab}\le2
[/mm]
[mm] \bruch{-b^{2}+4b+a-16}{ab}\le2
[/mm]
Ist das soweit richtig?
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> Ist das folgende hier richtig?
Hallo,
nein, das ist nicht richtig, und das liegt daran, daß Du nicht nachgeschlagen hast, wie man Beträge von komplexen Zahlen berechnet - ich glaub', es wurde Dir sogar im Thread gesagt.
Es kommt vor, daß man nicht weiß, wie das geht, was man machen soll - aber die passende Konsequenz wäre doch, sich zu informieren, und nicht einfach irgendwas zu tun, oder?
Hier braucht's doch keinerlei Idee, nur die Kenntnis der Rechenregeln wird benötigt.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\bruch{(4-2b)^{2}+(2ai)}{(a+b)^{2}+(ai+bi)^{2}}\le2[/mm]
>
> [mm]\bruch{4b^{2}-16b-4a+16}{-4ab}\le2[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{-b^{2}+4b+a-16}{ab}\le2[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Do 18.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Angela,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort. Ich glaube es war gestern einfach zu spät!
[mm] \vmat{ z }=\wurzel{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
Also setze ich ein und erhalte
[mm] (\bruch{2i\wurzel{a^{2}+b^{2}}+4}{(1+i)\wurzel{a^{2}+b^{2}}})^{2}
[/mm]
Und das wird dann zu
[mm] \bruch{-4(a^{2}+b^{2})+16}{2i(a^{2}+b^{2})}\le2
[/mm]
Das müsste doch jetzt richtig sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein!
1. schreib wie angela gesagt hat, die aufgabe nochmal hin.
2. wie ich dir oben gesagt habe mach den Schritt, dass da steht
[mm] \bruch{A+iB}{C+iD}
[/mm]
dann bilde den Betrag, schreib auf, was du für A,B,C,D hältst.
schreib den Betrag, bzw dessen Quadrat von Zähler und Nenner einzeln auf.
lies noch mal nach was ich über <,> und komplexe Zahlen gesagt habe.
und schreib wirklich Schritt für Schritt auf! langsamer ist hier besser als so wurschtelig wie du rumrechnest)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 18.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Leduat,
also die Aufgabe war:
[mm] \vmat{\bruch{2iz+4}{(1+i)z}}^{2} \le [/mm] 2
Ich habe jetzt für z=a+bi eingesetzt:
[mm] \vmat{\bruch{(4-2b)+(2a)i}{(a-b)+(a+b)i}}^{2} \le [/mm] 2
Den Betrag bilde ich jetzt indem ich die Vorzeichen umkehre von den reelen Zahlen?
Oder soll ich jetzt die Wurzel aus [mm] a^{2}+b^{2} [/mm] ziehen?
Also
[mm] \vmat{\bruch{\wurzel{(4-2b)^{2}+(2ai)^{2}}}{\wurzel{(a-b)^{2}+((a+b)i)^{2}}}}^{2} \le [/mm] 2
Ist das jetzt richtig?
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Hallo lexjou,
> Hallo Leduat,
>
> also die Aufgabe war:
>
> [mm]\vmat{\bruch{2iz+4}{(1+i)z}}^{2} \le[/mm] 2
>
> Ich habe jetzt für z=a+bi eingesetzt:
>
> [mm]\vmat{\bruch{(4-2b)+(2a)i}{(a-b)+(a+b)i}}^{2} \le[/mm] 2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Den Betrag bilde ich jetzt indem ich die Vorzeichen umkehre
> von den reelen Zahlen?
Nein, du nimmst den Realteil, quadrierst den, den Imaginärteil, quadrierst den, addierst beide und machst eine Wurzel drum.
Das hat man dir doch nun schon n-mal erklärt für [mm]n\to\infty[/mm]
[mm]|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}[/mm]
Hier nimm die Beträge in Zähler und Nenner getrennt:
[mm]\frac{\red{|(4-2b)+(2a)i|}^2}{\blue{|(a-b)+(a+b)i|}^2}\le 2[/mm]
Realteil im Zähler ist [mm](4-2b)[/mm], Imaginärteil [mm]2a[/mm]
Im Nenner entsprechend [mm]\operatorname{Re}(\text{Nenner})=a-b, \ \operatorname{Im}(\text{Nenner})=a+b[/mm]
Also [mm]\gdw \frac{\red{\sqrt{(4-2b)^2+(2a)^2}} \ ^2}{\blue{\sqrt{(a-b)^2+(a+b)^2}} \ ^2} \ \le \ 2[/mm]
Durch das Quadrieren fallen die Wurzeln weg, also
[mm]\frac{(4-2b)^2+(2a)^2}{(a-b)^2+(a+b)^2} \ \le \ 2[/mm]
Das nun lösen ...
>
> Oder soll ich jetzt die Wurzel aus [mm]a^{2}+b^{2}[/mm] ziehen?
>
> Also
>
>
> [mm]\vmat{\bruch{\wurzel{(4-2b)^{2}+(2ai)^{2}}}{\wurzel{(a-b)^{2}+((a+b)i)^{2}}}}^{2} \le[/mm] 2
Doppelt gemoppelt, entweder [mm]|a+bi|[/mm] oder [mm]\sqrt{a^2+b^2}[/mm]
Und unter der Wurzel hat das i nix verloren, da stehen nur die Quadrate von Real- und Imaginärteil, also die Quadrate von 2 reellen Zahlen !!!
>
>
> Ist das jetzt richtig?
Nee, mitunter grober Unfug
Vollziehe das oben nach und rechne zuende!
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 18.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Nur noch eine Frage... Du hast geschrieben:
Um die Beträge in Zähler und Nenner getrennt:
$ [mm] \frac{\red{|(4-2b)+(2a)i|}^2}{\blue{|(a-b)+(a+b)i|}^2}\le [/mm] 2 $
Realteil im Zähler ist (4-2b), Imaginärteil 2a
Im Nenner entsprechend $ [mm] \operatorname{Re}(\text{Nenner})=a-b, [/mm] \ [mm] \operatorname{Im}(\text{Nenner})=a+b [/mm] $
Also $ [mm] \gdw \frac{\red{\sqrt{(4-2b)^2+(2a)^2}} \ ^2}{\blue{\sqrt{(a-b)^2+(a+b)^2}} \ ^2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 2 $
Durch das Quadrieren fallen die Wurzeln weg, also
$ [mm] \frac{(4-2b)^2+(2a)^2}{(a-b)^2+(a+b)^2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 2 $
Das nun lösen ...
Wieso fallen die i's weg? Im Zähler sowie im Nenner?
Und die Aufgabe war ja, alle z zu bestimmen.
Wenn ich die Ungleichung auflöse, dann bekomme ich nichts in der Form a+bi heraus sonder z.B. irgendwas mit [mm] a^{2}+b^{2}+16b-16 [/mm] ?le 2
wie komme ich da an das z?
Ich weiß, es wurde schon x-mal erklärt, aber scheinbar nicht so, dass ich es verstanden habe! Sorry! Ist nicht mein Thema.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach dir doch bitte endlich klar, was der Betrag einer komplexen Zahl ist
das ist eine länge!
wenn du in der Gausschen Zahlenebene z=a+ib einzeichnest, dann ist das der Punkt (a,b)
wie gross ist sein abstand von 0
doch nicht [mm] a^2+(ib)^2=a^2-b^2??
[/mm]
Der Imaginärteil von a+ib ist die reelle zahl b , NICHT, WIRKLICH NICHT ib.
der [mm] Betrag^2 [/mm] von A+iB ist [mm] A^2+B^2 [/mm] wenn A und B irgendwelche ausdrücke aus reellen Zahlen sind.
das haben wir hier jetzt wirklich oft gesagt, du hast nie nachgefragt, also liest du die posts nicht wirklich!!
gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:55 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
z ist doch komplex, da ist der Betrag nicht so zu bestimmen.
eine Ungleichung in der noch komplexe zahlen vorkommen ist sinnlos. komplexe zahlen kann man nicht ordnen, also ist etwa z<1 sinnlos.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mi 17.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ja, ich hab schon gemerkt. Ich habe mal noch eine Frage gestellt, ob der Weg jetzt richtig ist!
Und noch eine Frage: Im Nenner der Betrag von iz... ist der nicht immer positiv? Kann ich da nicht die Betragsstriche weglassen?
Danke schon mal!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 17.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ich habe das gerade mal auf einem Zettel gekrizelt...
Da würde dann - also wenn ich mit dem Nenner multipliziere - ja stehen:
[mm] 2(-z+iz+4)\le2iz
[/mm]
Jetzt könnte ich durch 2 teilen:
[mm] -z+iz+4\leiz
[/mm]
Dann subtrahiere ich iz:
[mm] -z+4\le0
[/mm]
und nun addiere ich z:
4 [mm] \le [/mm] z
So. Nun weiß ich, dass [mm] z\ge4 [/mm] sein soll.
Aber reicht das jetzt aus?
Ich soll ja nur alle z [mm] \in \IC [/mm] finden und dann die Gaußsche Zahlenebene skizzieren!
Muss ich noch etwas tun?
Beweisführung für [mm] z\ge4 [/mm] zum Beispiel?
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Hallo lexjou,
> Ich habe das gerade mal auf einem Zettel gekrizelt...
>
> Da würde dann - also wenn ich mit dem Nenner multipliziere
> - ja stehen:
>
> [mm]2(-z+iz+4)\le2iz[/mm]
>
> Jetzt könnte ich durch 2 teilen:
>
> [mm]-z+iz+4\leiz[/mm]
>
> Dann subtrahiere ich iz:
>
> [mm]-z+4\le0[/mm]
>
> und nun addiere ich z:
>
> 4 [mm]\le[/mm] z
>
> So. Nun weiß ich, dass [mm]z\ge4[/mm] sein soll.
>
> Aber reicht das jetzt aus?
> Ich soll ja nur alle z [mm]\in \IC[/mm] finden und dann die
> Gaußsche Zahlenebene skizzieren!
>
> Muss ich noch etwas tun?
> Beweisführung für [mm]z\ge4[/mm] zum Beispiel?
Die ganze Rechnung, die Du hier gepostet hast ist falsch.
Siehe dazu diesen Artikel.
Gruss
MathePower
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