zeitl. Entwickl. Erwartungsw. < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die zeitliche Entwicklung der Erwartungswerte <x>, <p> im Zustand
[mm] \Phi(x,t)=\summe_{n}c_n\Phi_ne^{-iE_nt/h} [/mm] |
hallo Leute,
ausgehend von der Beziehung:
[mm] \bruch{d}{dt}<\Phi(t)|\hat A|\Phi(t)>=\bruch{i}{h}<\Phi(t)|[\hat H,\hat A]|\Phi(t)>+\bruch{\partial \hat A}{\partial t}
[/mm]
würd ich an die Aufgabe herangehen.
So dass ich dann mit
[mm] [\hat H,\hat X]=\bruch{-ih\hat p}{m} [/mm] und
[mm] [\hat H,\hat P]=ihw^{2}m\hat [/mm] x
die zeitliche Entwicklung der Orts -und Impulserwartungswerte
[mm] \bruch{d}{dt}<\hat x>=\bruch{<\hat p>}{m} [/mm] und [mm] \bruch{d}{dt}<\hat p>=-mw^2<\hat [/mm] x>
heraus bekomme.
Nun hab ich aber den leisen Verdacht, dass meine Lösung zu formal ist.
Auch den in der Aufgabenstellung gegebenen Zustand [mm] \Phi(x,t) [/mm] hab ich nicht weiter berücksichtigt.
Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen.
gruß richard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
das, was du gemacht hast sind ja die 'Heisenbergbewegungsgleichungen' [bzw.
das wird dahinfuehren].
Dort waelzt man ja die Zeitentwicklung der Wellenfunktionen auf eine Zeit-
entwicklung der Operatoren um. Die Operatoren erfuellen dann die Bewegungs-
gleichung
[mm]\frac{\mathrm{d}\hat A(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm i}{\hbar} [\hat H , \hat A(t)]+\frac{\partial \hat A(t)}{\partial t}[/mm]
wobei die letzte partielle Ableitung nur dann zuschlaegt, wenn dein Operator
explizit Zeitabhaengig ist.
Um dann den Erwartungswert des Operators auszurechnen, rechnet man dann eben
[mm]\langle \psi(t=0) | \hat A (t) | \psi(t=0) \rangle [/mm]
aus, d.h. man bildet den Erwartungswert des (zeitabh.) Operators mit der
Wellenfunktion zum Zeitpunkt [mm]t=0[/mm] (wo Schroedinger und Heisenberg-Bild uebereinstimmen).
Hier habe ich gleich die Frage, ob du den Hamilton-Operator gegeben
hattest? [Denn du gehst ja scheinbar von einem harm. Oszillator aus].
Da du jetzt aber eine Wellenfunktion schon als Funktion des Ortes und der Zeit
gegeben hast, wuerde ich eher erwarten, dass man
[mm]\langle \hat A \rangle (t) = \langle \psi(t) | \hat A | \psi(t)\rangle[/mm]
sehen moechte, d.h. den Erwartungswert im Schroedinger-Bild ausrechnet [wo eben die Wellenfunktion von der Zeit abhaengt, die Operatoren aber nicht].
Dafuer braucht man dann die Wellenfunktion [mm]\psi(x,t)[/mm].
Im Prinzip ist dein Vorgehen auch nicht verkehrt [also ueber das Heisenberg-
Bild - denn beide Bilder sollte ja zur selben Physik fuehren]. Allerdings musst du in
deinem Fall noch die Zeitentwicklung der Operatoren loesen (denn du hast
ja bisher nur die DGL da stehen...).
Viele Gruesse
Kroni
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