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Dipl. math. Felix Fontein
Dipl. math. Dieter Osterholz | www.matheraum.de
Algebra-Training 2006
Aufgabenblatt 3
Abgabe: Fr 22.09.2006 12:00 | 15.09.2006 | | Die Definition des cartesischen Produktes findet sich hier. | | Aufgabe 10 | Man betrachte  als additive Untergruppe von  und zeige:
i) Jedes Element in  ist von endlicher Ordnung.
ii) Für jedes  besitzt genau eine Untergruppe der Ordnung  , und diese ist zyklisch. | | Aufgabe 11 | Es seien  . Man zeige, daß die Gruppen  und  genau dann isomorph sind, wenn  und teilerfremd sind. Insbesondere ist ein Produkt zweier zyklischer Gruppen mit teilerfremden Ordnungen wieder zyklisch.
(Das Produkt zweier Gruppen ist die Menge der geordneten Paare mit komponentenweiser Verknüpfung.) | | Aufgabe 12 | Es sei  ein Endomorphismus des -fachen Produkts der additiven Gruppe . Man zeige:  ist genau dann injektiv, wenn  eine endliche Gruppe ist.
(Hinweis: Man betrachte den zu gehörigen Homomorphismus von -Vektorräumen  .) | | Aufgabe 13 | Seien  eine endliche Gruppe und  und  zwei (nicht notwendig verschiedene) Teilmengen von . Dann gilt  oder  .
In der Originalversion heißt es: Dann gilt entweder oder . Ist das auch richtig?
Dabei ist  .  ist selbst dann nicht unbedingt eine Untergruppe, wenn und es sind. |
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