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Wahrscheinlichkeitstheorie (Bauer)
Aufgabenblatt 1
Abgabe: Mo 09.04.2007 14:00		02.04.2007
Dieser Übungszettel enthält die Aufgaben aus Kapitel I, § 2. Laplace-Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1
Ein Würfel wird n-mal geworfen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau beim n-ten Wurf zum k-ten Mal eine Vier ($ 1\le k\le n $)?
Aufgabe 2
Drei Urnen $ U_1, U_2, U_3 $ enthalten gut durchmischt schwarze, weiße und rote, sonst aber gleichartige Kugeln. Es enthalte
$ U_1 $: 2 schwarze, 3 weiße, 5 rote Kugeln;
$ U_2 $: 4 schwarze, 2 weiße, 4 rote Kugeln;
$ U_3 $: 2 schwarze, 5 weiße, 3 rote Kugeln.

(a) Aus der Urne $ U_1 $ wird ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste und zweite Kugel schwarz und die dritte Kugel weiß ist?

(b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit $ P_s $ (bzw. $ P_w $ bzw. $ P_r $) mit welcher nach vorausgehender zufälliger Wahl einer der Urnen eine schwarze (bzw. weiße bzw. rote) Kugel gezogen wird.
Warum ist $ P_s+P_w+P_r=1 $?

(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man nach vorausgehender zufälliger Wahl einer der Urnen der Reihe nach 4 schwarze Kugeln ohne Zurücklegen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese 4 schwarzen Kugeln der Urne $ U_2 $ entstammen?
Aufgabe 3
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 10 zufällig ausgewählte Personen ihre Geburtstage in verschiedenen Monaten haben?
Aufgabe 4
Eine Urne enthält gut durchmischt gleichartige Kugeln in $ r $ verschiedenen Farben, nämlich $ k_i>0 $ Kugeln der Farbe $ F_i $, $ i=1,\ldots,r $.
Der Urne entnehme man in einem Zug $ n $ Kugeln, wobei $ 1\le n\le k_1+\ldots+k_r $ ist.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man genau $ n_i $ Kugeln der Farbe $ F_i $, $ i=1,\ldots,r $?
Dabei sei $ n_i\ge 0 $ für alle $ i $ und $ n_1+\ldots+n_r=n $.
Aufgabe 5
Eine Urne enthält gut durchmischt $ s\ge 1 $ schwarze und $ w\ge 1 $ weiße Kugeln. Es wird ohne Zurücklegen gezogen.
Welches ist die Wahrscheinlichkeit, um in $ z $ Zügen mindestens $ k\le s $ schwarze Kugeln zu erhalten ($ z=1,\ldots,s+w $)?
Aufgabe 6
(Pólyasches Urnen-Modell)
Eine Urne enthält gut durchmischt $ s\ge 1 $ schwarze und $ w\ge 1 $ weiße Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und wieder zurückgelegt; ferner werden $ t $ weitere Kugeln der Farbe der gezogenen Kugel in die Urne gelegt. Nach neuer Durchmischung wird wieder eine Kugel gezogen und obiges Verfahren mit gleicher Zahl $ t $ wiederholt.
Man zeige: Die Wahrscheinlichkeit in $ n=1,2,\ldots $ Zügen $ k $ schwarze und $ n-k $ weiße Kugeln zu ziehen ist

$ {n\choose k}\bruch{s(s+t)\cdot{}\ldots\cdot{}(s+(k-1)t)\cdot{}w(w+t)\cdot{}\ldots\cdot{}(w+(n-k-1)t)}{N(N+t)\cdot{}\ldots\cdot{}(N+(n-1)t)} $

wenn dabei $ k=0,1,\ldots,n $ ist und $ N:=s+w $ gesetzt wird.
Ist die unter 1 (b) beschriebene Situation hiervon ein Spezialfall?

Nachtrag: In 1(b) wurde folgendes Modell vorgestellt:
In einer Urne befinden sich gut durchmischt n gleichartige Kugeln in den Farben Schwarz und Weiß, etwa s schwarze und w weiße (s+w=n). Man zieht willkürlich $ m\le n $ Kugeln und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau $ k\le s $ schwarze Kugeln sind. Jede gezogene Kugel wird sofort wieder in die Urne zurückgelegt; nach erneutem Durchmischen des Urneninhaltes wird die nächste Kugel gezogen. [...] Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt $ {m\choose k} p^k(1-p)^{m-k} $ mit $ p=\bruch{s}{n} $
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