www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
ABCFormel
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

ABCFormel

Satz ABCFormel (auch Mitternachtsformel)

Die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form:

$ 0=ax^2+bx+c $ mit $ a \not= 0 $ (Falls a = 0 , handelt es sich um keine quadratische, sondern eine lineare Gleichung)

lauten:

Falls $ b^2-4ac \ge 0 $ :

$ x_1=\bruch{-b + \wurzel{b^2-4ac}}{2a} $

und

$ x_2=\bruch{-b - \wurzel{b^2-4ac}}{2a} $.

In Kurzschreibweise:

$ x_{1,2}=\bruch{-b \pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a} $;

falls $ b^2-4ac < 0 $, hat die quadratische Gleichung keine Lösung.


Beweis.

Da nach Voraussetzung $ a \not=0 $, gilt:

$ ax^2+bx+c=0 $
$ \gdw $
$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $

Wir setzen wegen der bereits bewiesenen p/q-Formel
$ p:=\frac{b}{a} $ und $ q:=\frac{c}{a} $.
Denn damit gilt:

$ x^2+px+q=0 $
$ \gdw $
$ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $.

Nach der (bereits bewiesenen) p/q-Formel erhalten wir also für $ \left(\frac{\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\right)^2-\frac{c}{a} >= 0 $ die Lösungen:
$ x_{1,2}=-\frac{\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\pm\wurzel{\left(\frac{\left(\frac{b}{a}\right)}{2}\right)^2-\frac{c}{a}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\wurzel{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\wurzel{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\wurzel{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm{\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{\wurzel{4a^2}}} $
$ \gdw $
$ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}} $;

falls $ b^2-4ac < 0 $ hat die quadratische Gleichung keine Lösung.


1. Fall:
Ist nun $ a>0 $, so erhalten wir:
$ x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $,
$ x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $.
Damit ist (sofern die Ausdrücke (wohl-)definiert sind) $ \IL=\left\{\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}};\, \frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $ die Lösungsmenge der Gleichung $ 0=ax^2+bx+c $ für alle $ a>0 $.


2. Fall:
Ist nun $ a<0 $, so erhalten wir:
$ x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2\cdot{}(-a)}}=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $,
$ x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2|a|}}=-\frac{b}{2a}-\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2\cdot{}(-a)}}=-\frac{b}{2a}+\frac{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}=\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}} $.
Damit ist (sofern die Ausdrücke (wohl-)definiert sind) $ \IL=\left\{\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}};\, \frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $ auch die Lösungsmenge der Gleichung $ 0=ax^2+bx+c $ für alle $ a<0 $.


Fazit:
Für alle $ a\not=0 $ (und sofern die Ausdrücke (wohl-)definiert sind) ist also $ \IL=\left\{\frac{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}};\, \frac{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $
(in Kurzschreibweise:$ \IL=\left\{\frac{-b\pm\wurzel{b^2-4ac}}{2a}}\right\} $) die Lösungsmenge der Gleichung $ 0=ax^2+bx+c $ und die Behauptung ist gezeigt!      $ \Box $


Bemerkungen.

Man versteht hier darunter, dass die Ausdrücke (wohl-)definiert sind, folgendes:
1.) $ a\not=0 $, weil man sonst durch Null teilen würde.
2.) $ b^2-4ac \ge0 $, denn der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen darf nicht $ <0 $ sein!

Die Formel ist so wichtig, dass man sie selbst dann noch auswendig hersagen können sollte, wenn man mitternachts aus dem Tiefschlaf geweckt würde!

Erstellt: So 03.10.2004 von Andi
Letzte Änderung: Fr 10.09.2010 um 12:44 von rebzdu
Weitere Autoren: informix, Marcel
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]