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Bernoulli-Ungleichung

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Bernoulli-Ungleichung

Voraussetzungen und Behauptung
Seien $K=(K,+,\cdot{},<)$ ein geordneter Körper und $x \in K$ , $x\ge-1_K$ sowie $n \in \IN$ .
Dann gilt (mit ):

Wir wählen jeweils ein $n \in \IN$ . Da $\IR=(\IR,+,\cdot{},<)$ ein geordneter Körper ist, können wir obige Ungleichung dann für ein paar -Werte aus $\IR$ testen.

1.) $x:=2\ge-1$ und $n:=3 \in \IN$ erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
$(1+2)^3 \ge 1+3\cdot{}2$
$\gdw$
$3^3=27 \ge 7$
Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr.

2.) $x:=-0,5 \ge-1$ und $n:=2\in \IN$ erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
$(1+(-0,5))^2 \ge 1+2\cdot{}(-0,5)$
$\gdw$
$0,5^2=0,25 \ge 0$
Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr.

3.) $x:=0\ge-1$ und $n:=10 \in \IN$ erfüllen die Voraussetzungen und liefern beim Einsetzen in die obige Ungkleichung:
$(1+0)^{10} \ge 1+10\cdot{}0$
$\gdw$
$1^{10}=1 \ge 1$ .
Da die letzte Ungleichung wahr ist, ist also auch die obere wahr.