FaktorhalbgruppeDefinition Faktorhalbgruppe
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Es sei  eine Halbgruppe und  eine verträgliche Äquivalenzrelation auf . Dann ist die Menge der Äquivalenzklassen
![$ H/R=\{[a]_R\, \vert\, a \in H\} $](/teximg/5/4/00387145.png "$ H/R=\{[a]_R\, \vert\, a \in H\} $")
zusammen mit der durch
![$ [a]_R \circ [b]_R := [a \circ b]_R $](/teximg/6/4/00387146.png "$ [a]_R \circ [b]_R := [a \circ b]_R $")
definierten Verknüpfung eine Halbgruppe.
Man nennt diese Halbgruppe  die Faktorhalbgruppe (oder Restklassenhalbgruppe) von  nach (oder von modulo ).
Bemerkung
Es hat sich als sehr zweckmäßig erwiesen, für die Verknüpfungen in und die dadurch induzierte Verknüpfung in  dieselben Zeichen zu verwenden.
Beispiel
Im Bereich  der ganzen Zahlen kennen wir die Division mit Rest; d.h. zu  ,  , gibt es eindeutig bestimmte  mit
 und  .
( heißt der Rest.)
Zu  erklären wir eine Relation  durch
 haben bei Division durch  den gleichen Rest.
Wie man sieht, ist  eine Äquivalenzrelation auf . Anstatt  schreibt man üblicherweise
(*)  .
Denn haben  und  bei Division durch den gleichen Rest, dann ist  ein Vielfaches von . Gilt andererseits  und  mit  und  , dann ist auch  , das geht wegen der Einschränkung nur für  , also  .
Nun wird gezeigt, dass die Relation "kongruent modulo " mit  und  auf verträglich ist:
Dafür sei und  . Wegen (*) ist dann
 ,
also:
 .
Außerdem gilt trivialerweise
 ,
also auch:
 .
Das zeigt bereits die Verträglichkeit mit und .
Sei  die Äquivalenzklasse  von  , in diesem Fall Restklasse modulo genannt:
 .
Die Menge der Restklassen wir mit  bezeichnet. Da jede Klasse zu genau einem Rest gehört, haben wir
 .
Beachte:  ,  , etc.
Wegen der Veträglichkeit der Äquivalenzrelationen mit und haben wir in kanonischer Weise auf die Verknüpfungen und erklärt, nämlich
und
 ,
und  ,  sind Halbgruppen.
Quelle: K. Meyberg, Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9
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