FunktionentheorieFreitagBusam

Dies sind Notizen, die ich mir zur Vorbereitung auf meine Diplom-Prüfung "Funktionentheorie" gemacht habe.

Inhaltsverzeichnis von Freitag, Busam: Funktionentheorie 1

Funktionentheorie

Def Komplexe_Zahlen

Def Nullfolge

Def konvergente_Reihe

Def absolut_konvergente_Reihe

Satz 2.5 Eine absolut konvergente Reihe konvergiert

Def Exponentialfunktion

Def Sinusfunktion

Def Kosinusfunktion

Hilfssatz 2.7 Cauchyscher Multiplikationssatz

Def 4.1 komplex differenzierbar / komplex ableitbar

Satz 4.3 Summenregel, Faktorregel, Produktregel, Quotientenregel

Satz 4.4 Kettenregel

Kapital I.5  

total differenzierbar, total ableitbar

Satz 5.3 Cauchy / Riemann

Cauchy-Riemannsche_Differentialgleichungen

Kapitel II.1 Komplexe Kurvenintegrale

Def 1.1 Kurve

Def 1.2 glatt (Kurve)

Def 1.3 stückweise glatt (Kurve)

Def 1.4 Kurvenintegral

Kapitel II.2 Cauchysche Integralsatz

Def 2.1 bogenweise zusammenhängend

Def 2.3 Gebiet

Satz 2.5 Cauchyscher Integralsatz für Dreieckswege

Def 2.6 Sterngebiet

Theorem 2.7 Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete

Def 2.8 Elementargebiet

Kapitel II.3 Cauchysche Integralformel

3.1 Hilfssatz

3.2 Theorem Cauchysche Integralformel

3.3 Hilfssatz Leibnizsche Regel

3.4 Theorem Verallgemeinerte Cauchysche Integralformeln

3.5 Satz von Morera

3.6 Def ganze Funktion

3.7 Satz von Liouville

3.8 Fundamentalsatz der Algebra

3.9 Folgerung

Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

1.1 Bemerkung

1.2 Bemerkung

1.3 Theorem (Weierstrass)

Def (lokal) gleichmäßig konvergent (Funktionenreihe)

1.4 Def normal konvergent

1.4 Bemerkung Weierstraßscher Majorantentest

1.6 Satz (Weierstraß)

Riemannsche Zeta-Funktion

Kapitel III.2 Potenzreihen

2.1 Satz

Konvergenzradius, Konvergenzkreisscheibe, Konvergenzkreis

2.2 Theorem Potenzreihenentwicklungssatz

2.3 Theorem

Rechenregeln Potenzreihen

Identitätssatz für Potenzreihen

Cauchyscher Multiplikationssatz

Invertieren von Potenzreihen

Weierstraßscher Doppelreihensatz

Umordnen von Potenzreihen

Ineinandersetzen von Potenzreihen

Umkehren von Potenzreihen

III.3 Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen

3.1 Satz

3.2 Identitätssatz für analytische Funktionen

3.2 Folgerung Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung

3.3 Satz von der Gebietstreue

3.4 Folgerung

3.5 Folgerung Maximumprinzip

3.5 Zusätze

3.6 Folgerung Minimumprinzip

3.7 Schwarzsches Lemma

Folgerung

3.8 Hilfssatz

3.9 Hilfssatz

3.10 Theorem

III.4 Singularitäten analytischer Funktionen

4.1 Def hebbare Singularität

4.2 Satz Riemannscher Hebbarkeitssatz

4.3 Def außerwesentliche Singularität, Pol, Polstelle

4.4 Bemerkung
Zusatz

4.5 Def. Ordnung von f in a
Bezeichnung ord(f;a)

4.6 Bem (Rechenregeln für ord)

4.7 Bem

4.8 Def wesentliche Singularität

4.9 Satz von Casorati-Weierstraß

4.10 Theorem (Klassifikation der Singularitäten durch das Abbildungsverhalten)

III.5 Laurentzerlegung

Anhang zu III.4 und III.4

Der Begriff der meromorphen Funktion

III.6 Der Residuensatz

III.7 Anwendungen des Residuensatzes

Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen

IV.1 Die Gammafunktion

IV.2 Der Weierstraßsche Produktsatz

IV.3 Der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler

IV.4 Der kleine Riemannsche Abbildungssatz

Anhang A. Die Homotopieversion des Cauchyschen Integralsatzes

Anhang B. Eine Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes

Anhang C. Charakterisierungen von Elementargebieten

Kapitel V. Elliptische Funktionen

V.1 Die Liouvilleschen Sätze

Anhang zu V.1 Zur Definition des Periodengitters

V.2 Die Weierstraßsche ??-Funktion

V.3 Der Körper der elliptischen Funktionen

Anhang zu V.3. Der Torus als algebraische Kurve

V.4 Das Additionstheorem

V.5 Elliptische Integrale

V.6 Das Abelsche Theorem

V.7 Die elliptische Modulgruppe

V.8 Die Modulfunktion j

Kapitel VI. Elliptische Modulformen

Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie