FunktionentheorieSkript1 Inhaltsverzeichnis §2 Komplex differenzierbare Funktionen
§1 Komplexe Zahlen und Polynome
ist mit der Vektoraddition "+" eine abelsche Gruppe
Definiert man eine Multiplikation für zwei Elemente als

wird zu einem kommutativer Körper mit Einselement .
Satz 1 Körper der komplexen Zahlen
(i) Die Zuordnung ist ein Körperhomomorphismus 
Man identifiziert mit und faßt als Teilkörper von auf.
(ii) Die Zuordnung ist ein Körperautomorphismus von der Ordnung 2 (d.h. )
Es sei das kanonische Skalarprodukt (d.h. ).
Def heißt Betrag von 
Es gilt: und 
Satz 1' Für alle gilt:

(Dreiecksungleichung)
mit 

__Satz 1''C__
(i) Zu , , existiert genau ein , , mit
(ii) Es sei , , 






Folgerung (zu Satz 1)C__ Es sei , , und ,
---
---
Es sei eine Zuordnung.
Def f heißt polynomial, wenn gilt: Es gibt mit
---
Es gilt:
(i) Es sei , polynomiale Abbildungen und sind polynomiale Abbildungen.
(ii) :=Gesamtheit der komplexen Polynome (=polynomialen Abbildungen) ist -Vektorraum
(iii) ist -Vektorraumbasis von
---
Def Man nennt n den Grad von f (in Zeichen: ) und die Koeffizienten von f.
---
Es gilt:
(i) Sind , so ist , wobei .
(ii) ist ein kommutativer Ring mit Einslement
---
Übg Es sei ist -Vektorraumbasis von
---
Def heißt Nullstellenmenge von f.
wird auch Menge der Wurzeln (Lösungen) der algebraischen Gleichung f=0 genannt.
---
Übg mit
---
Übg , ,
(s.o.) (Folg S1)
Frage: Ist ?
---
__Satz 2 Es sei , , 
Dann gilt: Es gibt , , und mit 
Weiter gilt:
(i) 
(ii) c ist eindeutig bestimmt und sind eindeutig bis auf die Reihenfolge
Minimumprinzip
Ist mit so gilt:
Zu existiert mit und 
, , 
Def , wenn gilt:
![$ f\in(z-\lambda)^r\cdot{}\IC[z] $ $ f\in(z-\lambda)^r\cdot{}\IC[z] $](/teximg/9/2/00388929.png)
![$ f\in(z-\lambda)^{r+1}\cdot{}\IC[z] $ $ f\in(z-\lambda)^{r+1}\cdot{}\IC[z] $](/teximg/0/3/00388930.png)
Man nennt die Nullstellenordnung von f im Punkt .
Übg Es sei , und 
Behauptung: Alle Nullstellen von f sind einfach (d.h. )
Es sei und 
Es sei mit 
Es gilt: 
Übg , , 

Bem ![$ f\in\IC[z] $ $ f\in\IC[z] $](/teximg/3/1/00388913.png)
Man kann zeigen: erfüllt auch das Minimumprinzip wobei 
Übg , : Graph ist eine Sattelfläche
, ( )
= System der offenen Mengen von 

Es gilt: ist das System der offenen Mengen einer Topologie auf 
d.h.
(i) 
(ii) 
(iii) 
Übg sei eine reelle Gerade in 
Die abgeschlossene Hülle von in ist 
Übg Es sei gegeben durch


Beh 


(r>0)
Beh Kreislinie mit Mittelpunkt 
und Radius 
Übg sei stetig, f besitze stetige Fortsetzung 
Ist mit , so gilt: existiert in ( )
Übg hat keine stetige Fortsetzung auf .

Satz 3: sei Kreislinie in , sei Gerade in , 
Dann gilt:
(i) Ist , so ist eine Kreislinie
(ii) Ist , so ist eine Gerade 
(iii) Ist , so ist eine Gerade 
(iv) Ist , so ist eine Kreislinie in durch 0.
Übg



TODO ???


Dreieck mit Ecken -1-i, -1+i, 1-i




Es sei eine Folge in , 
Def Ist U Umgebung von (d.h. existiert offene Teilmenge V von mit ), so existiert mit:
Übg (d.h. )
Übg 


Es gilt: 
Es sei , D offene Teilmenge von .
Def f ist stetig, wenn gilt:
Ist U offen in , so ist offen in .
Es gilt: f ist stetig Ist Folge, und ist , so ist 
Übg ist stetig
Übg stetig
Es existiert eine stetige Fortsetzung von zu Abbildung mit: Ist , so ist 
Übg 

für 
ist stetig
Übg nicht stetig fortsetzbar
, aber 
Satz 4 Es seien , und gegeben durch 
Dann gilt: Es gibt genau eine stetige Abbildung mit 
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