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FunktionentheorieSkript1
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FunktionentheorieSkript1

$ \uparrow $ Inhaltsverzeichnis $ \rightarrow $ §2 Komplex differenzierbare Funktionen


§1 Komplexe Zahlen und Polynome


$ (\IR^2,+) $ ist mit der Vektoraddition "+" eine abelsche Gruppe

Definiert man eine Multiplikation $ \cdot{} $ für zwei Elemente $ z_1=(x_1,y_1), z_2=(x_2,y_2)\in\IR^2 $ als

$ z_1\cdot{}z_2:=(x_1\cdot{}x_2-y_1\cdot{}y_2,x_1y_2+y_1\cdot{}x_2)\in\IR^2 $

wird $ (\IR,+,\cdot{}) $ zu einem kommutativer Körper mit Einselement $ (1,0) $.

Satz 1 Körper $ \IC $ der komplexen Zahlen

(i) Die Zuordnung $ x\mapsto (x,0) $ ist ein Körperhomomorphismus $ \IR\to\IC $
Man identifiziert $ x $ mit $ (x,0) $ und faßt $ \IR $ als Teilkörper von $ \IC $ auf.

(ii) Die Zuordnung $ z=(x,y)\mapsto (x-y)=:\overline{z} $ ist ein Körperautomorphismus von $ \IC $ der Ordnung 2 (d.h. $ \overline{\overline{z}}=z, i:=(0,1), \overline{i}=-i\neq i $)

Es sei $ \langle\cdot{},\cdot{}\rangle:\ \IR^2\times\IR^2\to\IR $ das kanonische Skalarprodukt (d.h. $ \langle(x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle=x_1\cdot{}x_2+y_1\cdot{}y_2 $).
Def $ |z|:=\wurzel{\langle z,z\rangle} $ heißt Betrag von $ z $
Es gilt: $ |z|\ge 0 $ und $ |z|=0 $ $ \gdw $ $ z=0 $

Satz 1' Für alle $ z_1,z_2\in\IC $ gilt:
$ |z_1\cdot{}z_2|=|z_1|\cdot{}|z_2| $
$ |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2| $ (Dreiecksungleichung)
$ \langle z_1,z_2\rangle=\operatorname{Re}(z_1\cdot{}\overline{z_2}) $ mit $ \operatorname{Re}(x,y):=x $
$ \langle z_1\cdot{}z_3,z_2\cdot{}z_3\rangle=|z_3|^2\cdot{}\langle z_1,z_2\rangle $

__Satz 1''C__
(i) Zu $ z\in\IC $, $ z\not=0 $, existiert genau ein $ \phi\in\IR $, $ 0\le\phi<2\pi $, mit $ z=|z|\cdot{}(\cos\phi+i\cdot{}\sin\phi) $

(ii) Es sei $ z_j=r_j(\cos\phi_j+i\sin\phi_j) $, $ r_j\in\IR $, $ r_j\ge0 $
$ \Rightarrow z_1 z_2=r_1 r_2 \left(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)\right) $

$ \operatorname{Re}(iz)=-\operatorname{Im}z $
$ \operatorname{Im}(iz)=\operatorname{Re}z $
$ \operatorname{Re}(z^{-1})=\bruch{1}{|z|^2}\cdot{}\operatorname{Re}z $
$ \operatorname{Im}(z^{-1})=-\bruch{1}{|z|^2}\cdot{}\operatorname{Im}z $
$ z^{-1}=\bruch{\overline{z}}{|z|^2} $

Folgerung (zu Satz 1)C__ Es sei $ \lambda\in\IC $, $ \lambda\not=0 $, und $ n\in\IN $, $ n\ge 1 $ $ \Rightarrow $ $ \#\left\{a\in\IC\ |\ a^n=\lambda\right\}=n $ --- $ \wurzel{i}=\pm\left(\cos\bruch{\pi}{4}+i\sin\bruch{\pi}{4}\right)=\pm\left( \bruch{\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i\right) $ --- Es sei $ f:\ \IC\to\IC $ eine Zuordnung. Def f heißt polynomial, wenn gilt: Es gibt $ a_0,\ldots,a_n\in\IC $ mit $ f(\lambda)=\summe_{k=0}^{n} a_k\lambda^k $ $ \forall \lambda\in\IC $ --- Es gilt: (i) Es sei $ \lambda\in\IC $, $ f,g $ polynomiale Abbildungen $ \IC\to\IC $ $ \Rightarrow $ $ \lambda\cdot{}f $ und $ f+g $ sind polynomiale Abbildungen. (ii) $ \IC[z] $:=Gesamtheit der komplexen Polynome (=polynomialen Abbildungen) $ (\IC[z],+,\cdot{}) $ ist $ \IC $-Vektorraum (iii) $ \left\{ z^k\ :\ k\in\IN\right\} $ ist $ \IC $-Vektorraumbasis von $ \IC[z] $ --- Def Man nennt n den Grad von f (in Zeichen: $ \operatorname{grad}(f) $) und $ a_0,\ldots,a_n $ die Koeffizienten von f. --- Es gilt: (i) Sind $ f,g\in\IC[z] $, so ist $ f\cdot{}g\in\IC[z] $, wobei $ (f\cdot{}g)(\lambda):=f(\lambda)\cdot{}g(\lambda) $ $ \forall\lambda\in\IC $. (ii) $ (\IC[z],+,\cdot{}) $ ist ein kommutativer Ring mit Einslement $ z^0 $ --- Übg Es sei $ \lambda\in\IC $ $ \Rightarrow $ $ \left\{(z-\lambda)^k\ :\ k\in\IN\right\} $ ist $ \IC $-Vektorraumbasis von $ \IC[z] $ --- $ f\in\IC[z] $ Def $ N(f):=\left\{ \lambda\in\IC\ :\ f(\lambda)=0\right\} $ heißt Nullstellenmenge von f. $ N(f) $ wird auch Menge der Wurzeln (Lösungen) der algebraischen Gleichung f=0 genannt. --- Übg $ f=\produkt_{k=1}^{n} (z-\lambda_k) $ mit $ \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\IC $ $ \Rightarrow $ $ N(f)=\left\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right\} $ --- Übg $ f=z^n-\lambda $, $ \lambda\in\IC $, $ \lambda\not=0 $ $ \Rightarrow $ $ N(f)=\left\{a\in\IC\ :\ a^n=\lambda\right\}=\left\{a_0,\ldots,a_{n-1}\right\} $ (s.o.) (Folg S1) Frage: Ist $ z^n-\lambda=\produkt_{k=0}^{n-1} (z-a_k) $? --- __Satz 2 Es sei $ f\in\IC[z] $, $ f\not=0 $, $ n=\operatorname{grad}(f)\ge1 $
Dann gilt: Es gibt $ c\in\IC $, $ c\not=0 $, und $ \lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\IC $ mit $ f=c\cdot{}\produkt_{k=1}^{n} (z-\lambda_k) $

Weiter gilt:
(i) $ N(f)=\right\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right\} $

(ii) c ist eindeutig bestimmt und $ \lambda_1,\ldots,\lambda_n $ sind eindeutig bis auf die Reihenfolge

Minimumprinzip
Ist $ \lambda_1\in\IC $ mit $ f(\lambda_1)\not=0 $ so gilt:
Zu $ \varepsilon>0 $ existiert $ \lambda\in\IC $ mit $ |\lambda-\lambda_1|<\varepsilon $ und $ |f(\lambda)|<|f(\lambda_1)| $

$ 0\not=f\in\IC[z] $, $ \lambda\in\IC $, $ r\in\IN $
Def $ \operatorname{ord}_{\lambda}(f):=r $, wenn gilt:
$ f\in(z-\lambda)^r\cdot{}\IC[z] $
$ f\in(z-\lambda)^{r+1}\cdot{}\IC[z] $
Man nennt $ \operatorname{ord}_{\lambda}(f) $ die Nullstellenordnung von f im Punkt $ \lambda $.

Übg Es sei $ \lambda\in\IC $, $ \lambda\not=0 $ und $ f=z^n-\lambda $
Behauptung: Alle Nullstellen von f sind einfach (d.h. $ \operatorname{ord}_{a}(f)=1 $ $ \forall a\in N(f) $)

Es sei $ f=\summe_{k=0}^{n} a_k z^k\in\IC[z] $ und $ f'=\summe_{k=1}^{n} k\cdot{}a_k z^{k-1} $
Es sei $ \lambda\in\IC $ mit $ f(\lambda)=0 $
Es gilt: $ \operatorname{ord}_{\lambda}(f)\ge 2 $ $ \gdw $ $ f'(\lambda)=0 $

Übg $ f=z^n-\lambda $, $ \lambda\not=0 $, $ f'=nz^{n-1} $
$ f(a)=0 $ $ \Rightarrow $ $ f'(a)\not=0 $ $ \Rightarrow $ $ \operatorname{ord}_a f=1 $

Bem $ f\in\IC[z] $
Man kann zeigen: $ \operatorname{Re}(f) $ erfüllt auch das Minimumprinzip wobei $ (\operatorname{Re}(f))(\lambda):=\operatorname{Re} f(\lambda) $ $ \forall\lambda\in\IC $

Übg $ f=z^2 $, $ \operatorname{Re} z^2=x^2-y^2 $: Graph ist eine Sattelfläche

$ \widehat{\IC}:=\IC\cup\{\infty\} $, ($ \infty\not\in\IC $)

$ \mathbf{O} $ = System der offenen Mengen von $ \IC $
$ \mathbf{O}_{\infty}:=\left\{ U\subseteq\widehat{\IC}\ :\ \infty\in U,\ \widehat{\IC}\setminus U \mbox{ kompakt in }\IC\right\} $

Es gilt: $ \widehat{\mathbf{O}}=\mathbf{O}\cup\mathbf{O}_{\infty} $ ist das System der offenen Mengen einer Topologie auf $ \widehat{\IC} $
d.h.
(i) $ \emptyset,\widehat{\IC}\in\widehat{\mathbf{O}} $
(ii) $ U_1,U_2\in\widehat{\mathbf{O}}\ \Rightarrow\ U_1\cap U_2\in\widehat{\mathbf{O}} $
(iii) $ U\in\widehat{\mathbf{O}},\ i\in I\ \Rightarrow\ \bigcup_{i\in I} U_i\in \widehat{\mathbf{O}} $

Übg $ L $ sei eine reelle Gerade in $ \IC $
Die abgeschlossene Hülle $ \overline{L} $ von $ L $ in $ \widehat{\IC} $ ist $ L\cup\{\infty\} $

Übg Es sei $ z^{-1}:\widehat{\IC}\to\widehat{\IC} $ gegeben durch
$ (z^{-1})(\lambda):=\begin{cases}\infty &amp; \lambda=0 \\ 0 &amp; \lambda=\infty \\ \lambda^{-1} &amp; \mbox{sonst} \end{cases} $
$ L=\left\{1+it\ :\ t\in\IR\} $
Beh  $ (z^{-1})(\overline{L})=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \left|\lambda-\bruch{1}{2}\right|=\bruch{1}{2}\right\} $

$ wL=L' $
$ z^{-1}(wL)=w^{-1}\cdot{}z^{-1}(L) $

$ K_r=\left\{\lambda\in\IC\ :\ |\lambda-1|=r \right\} $ (r>0)
Beh $ r\not=1\ \Rightarrow\ (z^{-1})(K_r)= $ Kreislinie mit Mittelpunkt $ \bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-r}+\bruch{1}{1+r}\right)=\bruch{1}{1-r^2} $
und Radius $ \bruch{1}{2}\left|\bruch{1}{1-r}-\bruch{1}{1+r}\right|=\bruch{r}{|1-r^2|} $

Übg $ f:\ \IC\to\widehat{\IC} $ sei stetig, f besitze stetige Fortsetzung $ \hat{f}\ :\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC} $
$ \gdw $ Ist $ (a_n)_{n\ge0}, a_n\in\IC $ mit $ \lim |a_n|=\infty $, so gilt: $ \limes_{n\to\infty} f(a_n) $ existiert in $ \widehat{\IC} $ ($ \hat{f}(\infty):=\limes_{n\to\infty}f(a_n) $)

Übg $ \psi\ : \IC\to\widehat{\IC}, \lambda\mapsto\operatorname{Re}(\lambda) $ hat keine stetige Fortsetzung auf $ \widehat{\IC} $.

$ z^{-1}\ :\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC} $
Satz 3: $ K $ sei Kreislinie in $ \IC $, $ L $ sei Gerade in $ \IC $, $ \overline{L}=L\cup\{\infty\} $
Dann gilt:
(i) Ist $ 0\not\in K $, so ist $ z^{-1}(K) $ eine Kreislinie
(ii) Ist $ 0\in K $, so ist $ z^{-1}(K) $ eine Gerade $ \cup\{\infty\} $
(iii) Ist $ 0\in L $, so ist $ z^{-1}(\overline{L}) $ eine Gerade $ \cup\{\infty\} $
(iv) Ist $ 0\not\in L $, so ist $ z^{-1}(\overline{L}) $ eine Kreislinie in $ \IC $ durch 0.

Übg
$ D_1=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Re}\lambda\ge-1\right\}\cup\{\infty\} $
$ z^{-1}(D_1)=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \left|\lambda+\bruch{1}{2}\right|\ge\bruch{1}{2}\right\}\cup\{\infty\} $

$ D_2=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Im}\lambda\ge-1\right\} $
$ z^{-1}(D_2)= $ TODO ???

$ D_3=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Re}\lambda+\operatorname{Im}\lambda\le0\right\}\cup\{\infty\} $
$ z^{-1}(D_3)=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Re}\lambda-\operatorname{Im}\lambda\le0\right\}\cup\{\infty\} $

$ \Delta=D_1\cup D_2\cup D_3 $ Dreieck mit Ecken -1-i, -1+i, 1-i

$ z^{-1}(\Delta)=z^{-1}(D_1)\cup z^{-1}(D_2)\cup z^{-1}(D_3) $

$ D_4=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Re}\lambda+\operatorname{Im}\lambda\le1\right\} $

$ \Delta'=D_1\cup D_2\cup D_4 $

$ z^{-1}(\Delta')= $

Es sei $ (a_n)_{n\ge0} $ eine Folge in $ \widehat{\IC} $, $ \lambda\in\widehat{\IC} $

Def $ \limes_{n\to\infty} a_n=\lambda $ $ :\gdw $ Ist U Umgebung von $ \lambda $ (d.h. existiert offene Teilmenge V von $ \widehat{\IC} $ mit $ \lambda\inV\subseteq U $), so existiert $ n_0 $ mit:

$ a_n\in U $   $ \forall\ n\ge n_0 $

Übg $ \limes a_n=\infty\ \gdw\ \limes |a_n|=\infty $ (d.h. $ \forall R>0\ \exists n_0\ :\ |a_n|>R\ \forall n>n_0 $)

Übg $ a_n=n\cdot{}i^n\ (n\in\IN) $
$ a_1=i, a_2=-2, a_3=-3i, a_4=4 $
$ \limes a_n=\infty $

Es gilt: $ \limes_{n\to\infty} a_n=\lambda, \limes_{n\to\infty} a_n=\lambda'\ \Rightarrow\ \lambda=\lambda' $

Es sei $ f:\ D\to\widehat{\IC} $, D offene Teilmenge von $ \widehat{\IC} $.
Def f ist stetig, wenn gilt:
Ist U offen in $ \widehat{\IC} $, so ist $ f^{-1}(U)=\left\{\lambda\in D\ :\ f(\lambda)\in U\right\} $ offen in $ \widehat{\IC} $.

Es gilt: f ist stetig $ \gdw $ Ist $ (a_n)_{n\ge 0} $ Folge, $ a_n\in D, \lambda\in D $ und ist $ limes_{n\to\infty} a_n=\lambda $, so ist $ \limes_{n\to\infty} f(a_n)=f(\lambda) $

Übg $ z^{-1}:\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC} $ ist stetig

Übg $ f:\ \IC\to\widehat{\IC} $ stetig
Es existiert eine stetige Fortsetzung $ \widehat{f} $ von $ f $ zu Abbildung $ \widehat{f}:\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC} $ $ :\gdw $ $ \exists\ \lambda\in\widehat{\IC} $ mit: Ist $ \limes_{n\to\infty} a_n=\infty $, so ist $ \limes_{n\to\infty} f(a_n)=\lambda $

Übg $ f=x+z^2:\ \IC\to\IC $
$ \widehat{f}(\infty):=\infty $
$ \widehat{f}(\lambda)=f(\lambda) $ für $ \lambda\not=\infty $
$ \widehat{f} $ ist stetig

Übg $ x:\ \IC\to\IC $ nicht stetig fortsetzbar
$ n\cdot{}i^n\to\infty $, aber $ x(n\cdot{}i^n)=\begin{cases}0 &amp; n\equiv1\pmod{4}\\ n &amp; n\equiv 0\pmod{4}\end{cases} $

Satz 4 Es seien $ f,g\in\IC[z], g\not=0 $, und $ h=\bruch{f}{g}:\ (\IC\setminus N(g))\to\IC $ gegeben durch $ h(\lambda)=\bruch{f(\lambda)}{g(\lambda)} $ $ \forall\ \lambda\in\IC\setminus N(g) $
Dann gilt: Es gibt genau eine stetige Abbildung $ \widehat{h}:\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC} $ mit $ \widehat{h}|_{\IC\setminus N(g)}=h $

$ \uparrow $ Inhaltsverzeichnis $ \rightarrow $ §2 Komplex differenzierbare Funktionen

Erstellt: So 13.03.2005 von Marc
Letzte Änderung: So 13.03.2005 um 14:23 von Marc
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