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Herleitung-e

Wie kommt man auf die Definition der Euler'schen Zahl:

$ e=\limes_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{n})^n} $

Man hat sich das so gedacht: Man suchte eine Exponentialfunktion, die bei x=0 den Anstieg 1 haben sollte.
Oder in anderen Worten: Man suchte eine Funktion, die die Gerade y=x+1 in A(0|1) berühren sollte.
Ihre Form sollte einfach nur $ y=a^x $ sein.
Wenn man ein paar Exponentialfunktion testet, bekommt man mit, dass diese gesuchte Basis der Potenz zwischen 2 und 3 liegen muss.

Dann hat man sich dem Punkt langsam genähert und dabei alle Funktionsgleichungen der Exponentialfunktion aufgestellt.

Ich fange mal an:

$ P_1(1|1+1); P_2(\bruch{1}{2}|1+\bruch{1}{2}); P_3(\bruch{1}{3}|1+\bruch{1}{3}); $ ... $ P_n(\bruch{1}{n}|1+\bruch{1}{n});... $

Wie man sieht, nähern sich die Punkte dem Punkt A(0|1) auf der Gerade y=x+1.
Und nun berechnet man die Basis a der Exponentialgleichung, die durch die Punkte $ P_1, P_2, $ ... $ P_n $ gehen:

$ 1+1=a_1^1 \Rightarrow a_1=1+1 $ (=2)
$ 1+\bruch{1}{2}=a_2^{\bruch{1}{2}} \Rightarrow a_2=(1+\bruch{1}{2})² $ (=2,25)
...
$ 1+\bruch{1}{n}=a^{\bruch{1}{n}} \Rightarrow a=(1+\bruch{1}{n})^n $

Und dieser Grenzwert ist zufälligerweise die Eulersche Zahl e,
nein, im Ernst, diese Zahl wurde bereits vom großen Mathematiker Leonhard Euler so benannt.

Erstellt: Mi 15.11.2006 von informix
Letzte Änderung: Mo 12.01.2009 um 10:43 von informix
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