Moivre-FormelMoivre-Formel
Sowohl hohe Potenzen  als auch Wurzeln ![$ \wurzel[n]{z} $](/teximg/2/5/00168852.png "$ \wurzel[n]{z} $") von komplexen Zahlen  (mit  ) können mit Hilfe der "Moivre-Formel" berechnet werden.
Dabei gilt hier für  :
 sowie 
Für den Winkel  ist auch noch der jeweilige Quadrant in der Gauß'schen Zahlenebene zu berücksichtigen (siehe dazu auch: komplexe Zahlen)
Beispiele
Beipiel 1
Berechnung aller Lösungen von 
Zuerst brauchen wir für die Zahl  eine Darstellung der Form 
 ist der Betrag der komplexen Zahl a und errechnet sich durch 
Unsere Zahl  hat also den Betrag 
Der Winkel berechnet sich aus  (Anm: wobei hier immer darauf geachtet werden muss, in welchem Quadranten unsere komplexe Zahl zu finden ist - d.h. er muss ggf. mit dem Wert  ergänzt werden).
Hier ist 
Damit habe wir schon alles, was wir für die Moivre-Formel benötigen
![$ \wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $](/teximg/9/3/02347439.png "$ \wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $")
Rechnungen:
![$ z_1=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+0\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=1}+\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+0\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=0}\cdot{}i\right]=1 $](/teximg/8/3/02347438.png "$ z_1=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+0\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=1}+\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+0\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=0}\cdot{}i\right]=1 $")
![$ z_2=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+1\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+1\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=\bruch{\wurzel{3}}{2}}\cdot{}i\right]=-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i $](/teximg/0/4/02347440.png "$ z_2=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+1\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+1\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=\bruch{\wurzel{3}}{2}}\cdot{}i\right]=-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i $")
![$ z_3=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{\wurzel{3}}{2}}\cdot{}i\right]=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i $](/teximg/1/4/02347441.png "$ z_3=\wurzel[3]{1}\cdot{}\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{\wurzel{3}}{2}}\cdot{}i\right]=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}\cdot{}i $")
Beispiel 2
Berechnung aller Lösungen von 
Zuerst brauchen wir für die Zahl eine Darstellung der Form
ist der Betrag der komplexen Zahl a und errechnet sich durch
Unsere Zahl  hat also den Betrag 
Der Winkel berechnet sich aus (Anm: wobei hier immer darauf geachtet werden muss, in welchem Quadranten unsere komplexe Zahl zu finden ist - d.h. er muss ggf. mit dem Wert ergänzt werden). Wir befinden uns im 3. Quadranten und benötigen daher die Erweiterung mit  , um auf den Hauptwert zu kommen.
Hier ist 
Damit habe wir schon alles, was wir für die Moivre-Formel benötigen
Rechnungen:
Mit ![$ \sqrt[4]{\sqrt{k}}=\sqrt[8]{k} $](/teximg/9/9/02347399.png "$ \sqrt[4]{\sqrt{k}}=\sqrt[8]{k} $") folgen u.a. Lösungen
![$ z_1\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+0\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+0\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx 2,052-0,966\cdot{}i $](/teximg/2/4/02347442.png "$ z_1\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+0\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+0\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx 2,052-0,966\cdot{}i $")
![$ z_2\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+1\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+1\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx 0,966+2,052\cdot{}i $](/teximg/3/4/02347443.png "$ z_2\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+1\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+1\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx 0,966+2,052\cdot{}i $")
![$ z_3\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+2\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+2\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx -2,052+0,966\cdot{}i $](/teximg/0/5/02347450.png "$ z_3\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+2\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+2\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx -2,052+0,966\cdot{}i $")
![$ z_4\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+3\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+3\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx -0,966-2,052\cdot{}i $](/teximg/2/5/02347452.png "$ z_4\approx\wurzel[8]{701}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\red{-1,76}+3\cdot{}2\pi}{4}\right)}+\sin\left(\bruch{\red{-1,76}+3\cdot{}2\pi}{4}\right)}\cdot{}i\right]\approx -0,966-2,052\cdot{}i $")
| 
![$ z^n \ = \ r^n\cdot{}\left[\cos\left(n\cdot{}\varphi\right)+\sin\left(n\cdot{}\varphi\right)\cdot{}i\right] $](/teximg/6/4/02347446.png "$ z^n \ = \ r^n\cdot{}\left[\cos\left(n\cdot{}\varphi\right)+\sin\left(n\cdot{}\varphi\right)\cdot{}i\right] $"){kind=small}
