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Taylorreihe
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Taylorreihe

Die Taylorreihe an sich

Es sei auf die gute Beschreibung der Wikipedia verwiesen:
[link]http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

Eine einfache Form der Taylorreihe ist die sog. Mc Laurinsche Reihe.


Die Herleitung der Mc Laurinschen Reihe

Grundidee:
Grundidee der Mc Laurinschen Reihe ist es, beliebig oft differenzierbare Funktion $ f(x) $ als Potenzreihe darstellen zu können.
$ f(x)=a_0\cdot x^0+a_1\cdot x^1+a_2\cdot x^2+\ldots+a_n\cdot x^n $

Die Eigenschaft, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar ist, kann man sich nun so zu Nutze machen:
Um den Koeffizienten $ a_i $ zu erhalten wird die Funktion genau $ i $ mal differenziert, da dann er Exponent des dazugehörigen $ x $ auf $ 0 $ gesunken ist, d.h. $ a_i $ als alleiniges Glied der Summe freisteht. Nun können alle weiteren Glieder der Summe eliminiert werden, indem für $ x $ der Wert Null eingesetzt wird. Übrig bleibt der Koeffizient $ a_i $ mit dem Faktor $ i! $, welcher durch das i-fache Ableiten enstanden ist. Wird dieser Ausdruck nun durch $ i! $ geteilt, so ergibt sich:

$ \frac{f^{(i)}(0)}{i!}=a_i $

Beispiel:
Der Koeffizient $ a_3 $ soll bestimmt werden.
$ f(x)=a_0\cdot x^0+a_1\cdot x^1+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3+\ldots+a_n\cdot x^n $
$ f'(x)=1\cdot a_1\cdot x^0+2\cdot a_2\cdot x^1+3\cdot a_3\cdot x^2+\ldots+n\cdot a_{n}\cdot x^{n-1} $
$ f''(x)=2\cdot 1\cdot a_2\cdot x^0+3\cdot 2\cdot a_3\cdot x^1+\ldots+n\cdot (n-1)\cdot a_{n}\cdot x^{n-2} $
$ f'''(x)=3\cdot 2\cdot 1\cdot a_3\cdot x^0+\ldots+n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot a_{n}\cdot x^{n-3} $
$ f'''(0)=3!\cdot a_3 $
$ \gdw \frac{f'''(0)}{3!}=a_3 $

Die fertige Formel:
Wendet man dieses Prinzip für die Bestimmung eines Koeffizienten auf alle Koeffizienten an, so erhält man für die Mc Laurinsche Reihe der Funktion $ f(x) $:
$ f(x)=\summe_{i=0}^{\infty}{\frac{f^{(i)}(0)}{i!}}\cdot x^i} $

Beispiele:
Die einfachste Mc Laurinsche Reihe ist die der Exponentialfunktion $ e^x $. Da nämlich $ \frac{d^k}{dx^k}{e^x} $ (sprich: die k-te Ableitung der Exponentialfunktion) der Exponentialfunktion entspricht, sich die Funktion also durch die Ableitung nicht ändert, lautet ihre Mc Laurinsche Reihe:

$ f(x)=e^x=\summe_{i=0}^{\infty}{\frac{f^{(i)}(0)}{i!}}\cdot x^i}=\summe_{i=0}^{\infty}{\frac{e^0}{i!}}\cdot x^i}=\summe_{i=0}^{\infty}{\frac{x^i}{i!}}} $

Nun zu den trigonometrischen Funktionen:

Kosinus:
$ f(x)=\cos(x) $ und $ f(0)=1 $
$ f'(x)=-\sin(x) $ und $ f'(0)=0 $
$ f''(x)=-\cos(x) $ und $ f''(0)=-1 $
$ f'''(x)=\sin(x) $ und $ f'''(0)=0 $
($ f''''(x)=\cos(x) $)
D.h. also, dass wir für ungerade $ i $ den Koeffizienten nicht zu berechnen brauchen, da $ f^(2\cdot k)(0)=0 $ ist.

Die Potenzreihendarstellung beinhaltet also nur gerade Exponenten. Die folgen kennt ein Jeder aus dem Schulunterricht: die Kosinusfunktion ist Achsensymmetrisch zur Y-Achse.

Für die noch verbleibenden Glieder der Summe wechselt das Vorzeichen permanent.
Daraus folgt die Mc Laurinsche Reihe für den Kosinus:
$ f(x)=cos(x)=\summe_{i=0}^{\infty}{(-1)^i\cdot\frac{x^{2i}}{(2i)!}} $

Sinus:
$ f(x)=\sin(x) $ und $ f(0)=0 $
$ f'(x)=\cos(x) $ und $ f'(0)=1 $
$ f''(x)=-\sin(x) $ und $ f''(0)=0 $
$ f'''(x)=-\cos(x) $ und $ f'''(0)=-1 $

Im Gegensatz zur Potenzreihendarstellung des Kosinus treten beim Sinus nur ungerade Exponenten auf. Folglich ist die Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Aus der Periodizität der gleich Null gesetzten Ableitungen folgt wie beim Kosinus, nur mit einer kleinen Änderung, die Darstellung der Sinusfunktion als Mc Laurinsche Reihe:
$ f(x)=\sin(x)=\summe_{i=0}^{\infty}{(-1)^i\cdot\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}} $

Tangens:

TODO

Kotangens:

TODO


Die Verallgemeinerung: die Taylorreihe

TODO

Erstellt: So 05.09.2004 von Hanno
Letzte Änderung: Mi 10.10.2007 um 16:45 von Marc
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