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Topologie
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Topologie

Definition Topologie


Universität

1.) Sei $ X $ eine Menge. Ein Mengensystem $ \mathcal{T}\subset \mathcal{P}(X) $ heißt Topologie (auf $ X $) genau dann, wenn die folgenden Bedingungen $ (\mathcal{T}1.) $ bis $ (\mathcal{T}4.) $ erfüllt sind:
$ (\mathcal{T}1.) $ $ \emptyset \in \mathcal{T} $
$ (\mathcal{T}2.) $ $ X \in \mathcal{T} $
$ (\mathcal{T}3.) $ $ \forall A,B \in \mathcal{T} $ gilt: $ A \cap B \in \mathcal{T} $ (d.h. $ \mathcal{T} $ ist durchschnittsstabil!)
$ (\mathcal{T}4.) $ Ist $ I $ irgendeine Indexmenge und sind $ A_{\alpha} \in \mathcal{T} $ ($ \forall \alpha \in I $) so gilt:
$ \bigcup_{\alpha \in I}A_{\alpha} \in \mathcal{T} $ (d.h., $ \mathcal{T} $ ist stabil unter Vereinigungen).

Das Paar $ (X,\mathcal{T}) $ heißt dann topologischer Raum. Die Mengen $ A \in \mathcal{T} $ heißen offen (bzgl. $ \mathcal{T} $ oder in $ (X,\mathcal{T}) $). $ B \subset X $ heißt abgeschlossen (bzgl. $ \mathcal{T} $ oder in $ (X,\mathcal{T}) $) genau dann, wenn $ B^C=X\setminus B $ offen ist (d.h., falls $ B^C \in \mathcal{T} $ gilt).

2.) Sei $ (X,\mathcal{T}) $ ein topologischer Raum. Ist $ M \subset X $, so heißt
$ M^\circ:=\bigcup_{\begin{matrix}A \in \mathcal{T}\\ A \subset M\end{matrix}}A $
offener Kern oder Inneres von $ M $.

$ \overline{M}:=\bigcap_{\begin{matrix}B \subset X\; \mbox{mit}\; M \subset B\\B\; \mbox{abgeschlossen}}\end{matrix}}B $
heißt Abschluß oder abgeschlossene Hülle von $ M $ (ggf. schreibt man $ \overline{M}^{\mathcal{T}} $ oder $ \overline{M}^{X} $ oder $ \overline{M}^{(X,\mathcal{T})} $).

3.) Sei $ (X,\mathcal{T}) $ ein topologischer Raum und sei $ x \in X $. Eine Menge $ U \subset X $ heißt Umgebung von $ x $ genau dann, wenn es $ A \in \mathcal{T} $ gibt mit $ x \in A \subset \mathcal{T} $. Weiter heißt
$ \mathcal{U}_x:=\{U \subset X:\;U\;\mbox{ist Umgebung von}\;x\} $ Umgebungsfilter.

Erstellt: Mo 17.01.2005 von Marcel
Letzte Änderung: Mo 17.01.2005 um 17:46 von Marcel
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