Topologie

Definition Topologie

1.) Sei eine Menge. Ein Mengensystem heißt Topologie (auf ) genau dann, wenn die folgenden Bedingungen bis erfüllt sind:


gilt: (d.h. ist durchschnittsstabil!)
Ist irgendeine Indexmenge und sind () so gilt:
(d.h., ist stabil unter Vereinigungen).

Das Paar heißt dann topologischer Raum. Die Mengen heißen offen (bzgl. oder in ). heißt abgeschlossen (bzgl. oder in ) genau dann, wenn offen ist (d.h., falls gilt).

2.) Sei ein topologischer Raum. Ist , so heißt

offener Kern oder Inneres von .

heißt Abschluß oder abgeschlossene Hülle von (ggf. schreibt man oder oder ).

3.) Sei ein topologischer Raum und sei . Eine Menge heißt Umgebung von genau dann, wenn es gibt mit . Weiter heißt
Umgebungsfilter.