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algebraische_Struktur
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algebraische Struktur

(Weitergeleitet von Verknüpfung)

Definition algebraische Struktur


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Es seien $ X $ und $ Y $ Mengen.

Eine Abbildung

$ f:X \times X \to X $

heißt eine innere Verknüpfung (oder eine innere Komposition) auf $ X $.

Eine Abbildung

$ g:Y \times X \to X $

heißt eine äußere Verknüpfung (oder äußere Komposition) auf $ X $ mit Operatorenbereich $ Y $.

Ein Tupel

$ (X,f_1,\ldots,f_n,Y_1,g_1,\ldots,Y_m,g_m) $

bestehend aus einer nichtleeren Menge $ X $, inneren Verknüpfungen $ f_i $ auf $ X $ $ (1 \le i \le n) $ und äußeren Verknüpfungen $ g_j $ auf $ X $ mit nichtleerem Operatorenbereich $ Y_j $ $ (1 \le j \le m) $ heißt eine algebraische Struktur.


Bemerkung

Der Begriff "algebraische Struktur" ist so weitläufig gefasst (in der Definition kann sogar $ n=0 $ oder $ m=0 $ sein), dass man damit natürlich noch nicht viel anfangen kann. Es werden aber im weiteren Verlauf der Algebra recht konkrete zusätzliche Forderungen an die Verknüpfungen gestellt.

Man vereinbart eine einfache Schreibweise:

Ist $ f:X \to X \to X $ eine innere Veknüpfung auf $ X $, dann bezeichnet man das $ f $-Bild von $ (x,y) \in X \times X $ mit $ xfy $.

In diesem Zusammenhang ist es üblich die Abbildungen nicht mit $ f,\, g,\ldots $ zu bezeichnen, sondern mit $ \circ,+,\cdot,\perp,\star $, oder ähnlich. Diese Zeichen, die Verknüpfungssymbole, sind also Bezeichnungen für innere oder äußere Verknüpfungen.

Die am häufigsten verwendete Bezeichnung einer Verknüpfung $ X \times X \to X $ ist der Punkt, also:

$ \cdot \, : \, \begin{array}{ccc} X \times X & \to & X\\[5pt] (x,y) & \mapsto & x \cdot y, \end{array} $

und das Zeichen $ + $,

$ + \, : \, \begin{array}{ccc} X \times X & \to & X\\[5pt] (x,y) & \mapsto & x + y. \end{array} $

Auch ist es üblich, in unmissverständlichenen Zusammanhängen den Punkt einfch wegzulassen und man schreibt vereinfacht $ (x,y) \mapsto xy $.

In der Benennung übernimmt man die Namen, die für die Symbole in den Spezialfällen bereits festgelegt sind. So heißt $ \cdot : X \times X \to X $ ein Produkt auf $ X $, $ xy $ das Produkt aus den Faktoren $ x $ und $ y $ (in dieser Reihenfolge). $ + :X \times X \to X $ heißt Addition __auf $ X $ und $ x+y $ die __Summe der Summanden $ x $ und $ y $, etc. Ansonsten kann man die Bezeichnungen nach Belieben benennen, z.B. $ \circ $ "Kringel", $ \star $ "Stern", etc. Will man sich nicht festlegen, liest man $ x \circ y $ als "$ x $ verknüpft mit $ y $".


Beispiele

a) Auf $ \IZ $ sind $ (x,y) \mapsto xy $ und $ (x,y) \mapsto x+y $ (übliche Multiplikation und Addition) innere Verknüpfungen. Aber auch $ (x,y) \mapsto x \circ y= 2x+6xy + 5y $ ist eine innere Verknüpfung auf $ \IZ $, jedoch $ (x,y) \mapsto x^y $ ist keine Verknüpfung auf $ \IZ $, denn i.a. ist $ x^y $ nicht in $ \IZ $.

b) Auf der Potenzmenge $ P(X) $ eine Menge $ X $ sind $ (A,B) \mapsto A \cup B $ und $ (A,B) \mapsto A \cap B $ innere Verknüpfungen.

c) Ist $ X= \{f\, \vert\, f:A \to A\} $ die Menge aller abbildungen von $ A $ in sich und $ f \circ g $ das Kompositum der Abbildungen $ f $ und $ g $, $ (f \circ g)(x)=f(g(x)) $, dann ist $ (f,g) \mapsto f \circ g $ eine innere Verknüpfung auf $ X $.

d) Für reelle Zahlen $ x $ und natürliche Zahlen $ n $ sind $ (n,x) \mapsto nx $ und $ (n,x) \mapsto x^n $ äußere Verknüpfungen auf $ \IR $ mit Operatorenbereich $ \IN $.


Bemerkung (Verknüpfungstafeln)

Eine Verknüpfung $ \circ $ auf einer endlichen Menge $ X=\{x_1,\ldots,x_n\} $ gibt man meist explizit an. Dies geschieht zweckmäßigerweise in Form der Verknüpfungtafel (für $ \circ $). Man schreibt die Elemente von $ X=\{x_1,\ldots,x_n\} $ an den oberen und an den linken Rand der Tafel und ganz links oben an die Ecke das Verknüpfungszeichen. Im Schnittpunkt der $ i $-ten Zeile und der $ j $-ten Spalte ($ 1 \le i,j \le n $) steht dann das Element $ x_i \circ x_j $. (Die Ränder werden gelegentlich als nullte Zeile bzw. nullte Spalte bezeichnet.)

Entsprechend gibt man eine Verknüpfungstafel einer äußeren Verknüpfung $ \star : Y \times X \to X $ mit endlichen Mengen $ X,\, Y $ an. Jede innere Verknüpfung auf $ X $ kann natürlich auch als äußere Verknüpfung auf $ X $ mit Operatorenbereich $ X $ angesehen werden. Die unterschiedliche Bewertung dieser Auffassung tritt erst zutage, wenn durch zusätzliche Forderungen an eine algebraische Struktur die inneren und äußeren Verknüpfungen unterschiedlich behandelt werden.


Quelle: K. Meyberg, Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9

Erstellt: Do 28.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: So 31.07.2005 um 21:24 von Stefan
Weitere Autoren: Christian
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